Derivada de y=x:2*sqrt(1+sqrt(x))

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x \sqrt{\sqrt{x} + 1}$ y $g{\left(x \right)} = 2$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = \sqrt{\sqrt{x} + 1}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = \sqrt{x} + 1$.

      2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x} + 1\right)$:

         1. diferenciamos $\sqrt{x} + 1$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

            Como resultado de: $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{1}{4 \sqrt{x} \sqrt{\sqrt{x} + 1}}$

      Como resultado de: $\frac{\sqrt{x}}{4 \sqrt{\sqrt{x} + 1}} + \sqrt{\sqrt{x} + 1}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. La derivada de una constante $2$ es igual a cero.

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{\sqrt{x}}{8 \sqrt{\sqrt{x} + 1}} + \frac{\sqrt{\sqrt{x} + 1}}{2}$

2. Simplificamos:

   $\frac{5 \sqrt{x} + 4}{8 \sqrt{\sqrt{x} + 1}}$

Respuesta:

$\frac{5 \sqrt{x} + 4}{8 \sqrt{\sqrt{x} + 1}}$