Derivada de y=(x+1)sin(x+1)-2x-x^2

1. diferenciamos $- x^{2} + \left(- 2 x + \left(x + 1\right) \sin{\left(x + 1 \right)}\right)$ miembro por miembro:

   1. diferenciamos $- 2 x + \left(x + 1\right) \sin{\left(x + 1 \right)}$ miembro por miembro:

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = x + 1$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. diferenciamos $x + 1$ miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            Como resultado de: $1$

         $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x + 1 \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = x + 1$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)$:

            1. diferenciamos $x + 1$ miembro por miembro:

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

               Como resultado de: $1$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $\cos{\left(x + 1 \right)}$

         Como resultado de: $\left(x + 1\right) \cos{\left(x + 1 \right)} + \sin{\left(x + 1 \right)}$

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $-2$

      Como resultado de: $\left(x + 1\right) \cos{\left(x + 1 \right)} + \sin{\left(x + 1 \right)} - 2$

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

      Entonces, como resultado: $- 2 x$

   Como resultado de: $- 2 x + \left(x + 1\right) \cos{\left(x + 1 \right)} + \sin{\left(x + 1 \right)} - 2$

2. Simplificamos:

   $- 2 x + \left(x + 1\right) \cos{\left(x + 1 \right)} + \sin{\left(x + 1 \right)} - 2$

Respuesta:

$- 2 x + \left(x + 1\right) \cos{\left(x + 1 \right)} + \sin{\left(x + 1 \right)} - 2$