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(xlnx)/(sin^5(1/x))
Derivada de la función/ (1/x)/ (xlnx)/ (xlnx)/(sin^5(1/x))

Derivada de (xlnx)/(sin^5(1/x))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
x*log(x)
--------
   5/1\ 
sin |-| 
    \x/
xlog⁡(x)sin⁡5(1x)\frac{x \log{\left(x \right)}}{\sin^{5}{\left(\frac{1}{x} \right)}} 
(x*log(x))/sin(1/x)^5
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

    f(x)=xlog⁡(x)f{\left(x \right)} = x \log{\left(x \right)} y g(x)=sin⁡5(1x)g{\left(x \right)} = \sin^{5}{\left(\frac{1}{x} \right)}.

    Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

      f(x)=xf{\left(x \right)} = x; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

      g(x)=log⁡(x)g{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Derivado log⁡(x)\log{\left(x \right)} es 1x\frac{1}{x}.

      Como resultado de: log⁡(x)+1\log{\left(x \right)} + 1

    Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=sin⁡(1x)u = \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}.

    2. Según el principio, aplicamos: u5u^{5} tenemos 5u45 u^{4}

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxsin⁡(1x)\frac{d}{d x} \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}:

      1. Sustituimos u=1xu = \frac{1}{x}.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

        ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx1x\frac{d}{d x} \frac{1}{x}:

        1. Según el principio, aplicamos: 1x\frac{1}{x} tenemos −1x2- \frac{1}{x^{2}}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        −cos⁡(1x)x2- \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      −5sin⁡4(1x)cos⁡(1x)x2- \frac{5 \sin^{4}{\left(\frac{1}{x} \right)} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    (log⁡(x)+1)sin⁡5(1x)+5log⁡(x)sin⁡4(1x)cos⁡(1x)xsin⁡10(1x)\frac{\left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \sin^{5}{\left(\frac{1}{x} \right)} + \frac{5 \log{\left(x \right)} \sin^{4}{\left(\frac{1}{x} \right)} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}}{\sin^{10}{\left(\frac{1}{x} \right)}}

  2. Simplificamos:

    x(log⁡(x)+1)sin⁡(1x)+5log⁡(x)cos⁡(1x)xsin⁡6(1x)\frac{x \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + 5 \log{\left(x \right)} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x \sin^{6}{\left(\frac{1}{x} \right)}}

Respuesta:

x(log⁡(x)+1)sin⁡(1x)+5log⁡(x)cos⁡(1x)xsin⁡6(1x)\frac{x \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + 5 \log{\left(x \right)} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x \sin^{6}{\left(\frac{1}{x} \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-25000002500000
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
                  /1\       
             5*cos|-|*log(x)
1 + log(x)        \x/       
---------- + ---------------
    5/1\             6/1\   
 sin |-|        x*sin |-|   
     \x/              \x/
log⁡(x)+1sin⁡5(1x)+5log⁡(x)cos⁡(1x)xsin⁡6(1x)\frac{\log{\left(x \right)} + 1}{\sin^{5}{\left(\frac{1}{x} \right)}} + \frac{5 \log{\left(x \right)} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x \sin^{6}{\left(\frac{1}{x} \right)}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
      /         /1\        2/1\\                                
      |    2*cos|-|   6*cos |-||                                
      |1        \x/         \x/|                                
    5*|- - -------- + ---------|*log(x)                         
      |x       /1\         2/1\|                             /1\
      |     sin|-|    x*sin |-||          10*(1 + log(x))*cos|-|
      \        \x/          \x//                             \x/
1 + ----------------------------------- + ----------------------
                     x                                /1\       
                                                 x*sin|-|       
                                                      \x/       
----------------------------------------------------------------
                                5/1\                            
                           x*sin |-|                            
                                 \x/
1+10(log⁡(x)+1)cos⁡(1x)xsin⁡(1x)+5(−2cos⁡(1x)sin⁡(1x)+1x+6cos⁡2(1x)xsin⁡2(1x))log⁡(x)xxsin⁡5(1x)\frac{1 + \frac{10 \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}} + \frac{5 \left(- \frac{2 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}} + \frac{1}{x} + \frac{6 \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x \sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}\right) \log{\left(x \right)}}{x}}{x \sin^{5}{\left(\frac{1}{x} \right)}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
       /           /1\         2/1\         /1\         3/1\\                                      /         /1\        2/1\\
       |      6*cos|-|   36*cos |-|   17*cos|-|   42*cos |-||                                      |    2*cos|-|   6*cos |-||
       |  6        \x/          \x/         \x/          \x/|                                      |1        \x/         \x/|
     5*|- - + -------- - ---------- + --------- + ----------|*log(x)               15*(1 + log(x))*|- - -------- + ---------|
       |  x       /1\         2/1\     2    /1\    2    3/1\|                /1\                   |x       /1\         2/1\|
       |       sin|-|    x*sin |-|    x *sin|-|   x *sin |-||          15*cos|-|                   |     sin|-|    x*sin |-||
       \          \x/          \x/          \x/          \x//                \x/                   \        \x/          \x//
-1 + --------------------------------------------------------------- + --------- + ------------------------------------------
                                    x                                        /1\                       x                     
                                                                        x*sin|-|                                             
                                                                             \x/                                             
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                           2    5/1\                                                         
                                                          x *sin |-|                                                         
                                                                 \x/
−1+15(log⁡(x)+1)(−2cos⁡(1x)sin⁡(1x)+1x+6cos⁡2(1x)xsin⁡2(1x))x+5(6cos⁡(1x)sin⁡(1x)−6x−36cos⁡2(1x)xsin⁡2(1x)+17cos⁡(1x)x2sin⁡(1x)+42cos⁡3(1x)x2sin⁡3(1x))log⁡(x)x+15cos⁡(1x)xsin⁡(1x)x2sin⁡5(1x)\frac{-1 + \frac{15 \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \left(- \frac{2 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}} + \frac{1}{x} + \frac{6 \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x \sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}\right)}{x} + \frac{5 \left(\frac{6 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}} - \frac{6}{x} - \frac{36 \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x \sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}} + \frac{17 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2} \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}} + \frac{42 \cos^{3}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2} \sin^{3}{\left(\frac{1}{x} \right)}}\right) \log{\left(x \right)}}{x} + \frac{15 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}}{x^{2} \sin^{5}{\left(\frac{1}{x} \right)}}
Simplificar
Gráfico
Derivada de (xlnx)/(sin^5(1/x))
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