Derivada de cos^25x-sin^25x

1. diferenciamos $- \sin^{25}{\left(x \right)} + \cos^{25}{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

   1. Sustituimos $u = \cos{\left(x \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{25}$ tenemos $25 u^{24}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- 25 \sin{\left(x \right)} \cos^{24}{\left(x \right)}$

   4. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos $u = \sin{\left(x \right)}$.

      2. Según el principio, aplicamos: $u^{25}$ tenemos $25 u^{24}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

         1. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $25 \sin^{24}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

      Entonces, como resultado: $- 25 \sin^{24}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   Como resultado de: $- 25 \sin^{24}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 25 \sin{\left(x \right)} \cos^{24}{\left(x \right)}$

2. Simplificamos:

   $- 25 \left(\sin^{23}{\left(x \right)} + \cos^{23}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

Respuesta:

$- 25 \left(\sin^{23}{\left(x \right)} + \cos^{23}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$