Sr Examen

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y=cos(ctg^2*x)
Derivada de la función/ y=cos/ ctg^2/ y=cos(ctg^2*x)

Derivada de y=cos(ctg^2*x)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
   /   2   \
cos\cot (x)/
cos⁡(cot⁡2(x))\cos{\left(\cot^{2}{\left(x \right)} \right)} 
cos(cot(x)^2)
Solución detallada

  1. Sustituimos u=cot⁡2(x)u = \cot^{2}{\left(x \right)}.

  2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

    dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxcot⁡2(x)\frac{d}{d x} \cot^{2}{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=cot⁡(x)u = \cot{\left(x \right)}.

    2. Según el principio, aplicamos: u2u^{2} tenemos 2u2 u

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxcot⁡(x)\frac{d}{d x} \cot{\left(x \right)}:

      1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

        Method #1

        1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

          cot⁡(x)=1tan⁡(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}

        2. Sustituimos u=tan⁡(x)u = \tan{\left(x \right)}.

        3. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos −1u2- \frac{1}{u^{2}}

        4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}:

          1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

          2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

            f(x)=sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} y g(x)=cos⁡(x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

            Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

            1. La derivada del seno es igual al coseno:

              ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

            Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

            1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

              ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          −sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

        Method #2

        1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

          cot⁡(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

        2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

          ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

          f(x)=cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} y g(x)=sin⁡(x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

          Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

          1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

          Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

          1. La derivada del seno es igual al coseno:

            ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

          Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

          −sin⁡2(x)−cos⁡2(x)sin⁡2(x)\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      −2(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))cot⁡(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)- \frac{2 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cot{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

    Como resultado de la secuencia de reglas:

    2(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))sin⁡(cot⁡2(x))cot⁡(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)\frac{2 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(\cot^{2}{\left(x \right)} \right)} \cot{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

  4. Simplificamos:

    2sin⁡(1tan⁡2(x))cos⁡(x)sin⁡3(x)\frac{2 \sin{\left(\frac{1}{\tan^{2}{\left(x \right)}} \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}

Respuesta:

2sin⁡(1tan⁡2(x))cos⁡(x)sin⁡3(x)\frac{2 \sin{\left(\frac{1}{\tan^{2}{\left(x \right)}} \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-20000002000000
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
 /          2   \           /   2   \
-\-2 - 2*cot (x)/*cot(x)*sin\cot (x)/
−(−2cot⁡2(x)−2)sin⁡(cot⁡2(x))cot⁡(x)- \left(- 2 \cot^{2}{\left(x \right)} - 2\right) \sin{\left(\cot^{2}{\left(x \right)} \right)} \cot{\left(x \right)}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
   /       2   \ //       2   \    /   2   \        2       /   2   \        2    /       2   \    /   2   \\
-2*\1 + cot (x)/*\\1 + cot (x)/*sin\cot (x)/ + 2*cot (x)*sin\cot (x)/ + 2*cot (x)*\1 + cot (x)/*cos\cot (x)//
−2(cot⁡2(x)+1)((cot⁡2(x)+1)sin⁡(cot⁡2(x))+2(cot⁡2(x)+1)cos⁡(cot⁡2(x))cot⁡2(x)+2sin⁡(cot⁡2(x))cot⁡2(x))- 2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(\cot^{2}{\left(x \right)} \right)} + 2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(\cot^{2}{\left(x \right)} \right)} \cot^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(\cot^{2}{\left(x \right)} \right)} \cot^{2}{\left(x \right)}\right)
Simplificar
Tercera derivada [src] 
                /                                        2                                                              2                                                            \       
  /       2   \ |     2       /   2   \     /       2   \     /   2   \     /       2   \    /   2   \     /       2   \     2       /   2   \        2    /       2   \    /   2   \|       
4*\1 + cot (x)/*\2*cot (x)*sin\cot (x)/ + 3*\1 + cot (x)/ *cos\cot (x)/ + 4*\1 + cot (x)/*sin\cot (x)/ - 2*\1 + cot (x)/ *cot (x)*sin\cot (x)/ + 6*cot (x)*\1 + cot (x)/*cos\cot (x)//*cot(x)
4(cot⁡2(x)+1)(−2(cot⁡2(x)+1)2sin⁡(cot⁡2(x))cot⁡2(x)+3(cot⁡2(x)+1)2cos⁡(cot⁡2(x))+4(cot⁡2(x)+1)sin⁡(cot⁡2(x))+6(cot⁡2(x)+1)cos⁡(cot⁡2(x))cot⁡2(x)+2sin⁡(cot⁡2(x))cot⁡2(x))cot⁡(x)4 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(- 2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \sin{\left(\cot^{2}{\left(x \right)} \right)} \cot^{2}{\left(x \right)} + 3 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \cos{\left(\cot^{2}{\left(x \right)} \right)} + 4 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(\cot^{2}{\left(x \right)} \right)} + 6 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(\cot^{2}{\left(x \right)} \right)} \cot^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(\cot^{2}{\left(x \right)} \right)} \cot^{2}{\left(x \right)}\right) \cot{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=cos(ctg^2*x)
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