Derivada de y=cosxln(tgx)-ln(tg(x/2))

Solución

Ha introducido [src]

                        /   /x\\
cos(x)*log(tan(x)) - log|tan|-||
                        \   \2//

$$\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)} - \log{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}$$

cos(x)*log(tan(x)) - log(tan(x/2))

Solución detallada

diferenciamos $\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)} - \log{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}$ miembro por miembro:
1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
  
  $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
  
  $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
    
    $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
  $g{\left(x \right)} = \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Sustituimos $u = \tan{\left(x \right)}$ .
  2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$ .
  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$ :
    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
      
      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
    2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      1. La derivada del seno es igual al coseno:
        
        $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
        
        $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
      
      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}$
  Como resultado de: $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}} - \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)}$
2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
  1. Sustituimos $u = \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$ .
  2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$ .
  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$ :
    1. Sustituimos $u = \frac{x}{2}$ .
    2. $\frac{d}{d u} \tan{\left(u \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(u \right)}}$
    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$ :
      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
        
        Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
        
        Entonces, como resultado: $\frac{1}{2}$
      Como resultado de la secuencia de reglas:
      
      $\frac{1}{2 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}$
  Entonces, como resultado: $- \frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}$
Como resultado de: $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}} - \frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} - \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)}$
Simplificamos:

$- \frac{\left(3 - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{4 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

Respuesta:

$- \frac{\left(3 - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{4 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

         2/x\                                            
      tan |-|                                            
  1       \2/                                            
  - + -------                        /       2   \       
  2      2                           \1 + tan (x)/*cos(x)
- ----------- - log(tan(x))*sin(x) + --------------------
        /x\                                 tan(x)       
     tan|-|                                              
        \2/

$$\frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}} - \frac{\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} - \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

                                                                           2                                                 
         2/x\                                                 /       2/x\\                 2                                
      tan |-|                                                 |1 + tan |-||    /       2   \             /       2   \       
  1       \2/                          /       2   \          \        \2//    \1 + tan (x)/ *cos(x)   2*\1 + tan (x)/*sin(x)
- - - ------- - cos(x)*log(tan(x)) + 2*\1 + tan (x)/*cos(x) + -------------- - --------------------- - ----------------------
  2      2                                                           2/x\                2                     tan(x)        
                                                                4*tan |-|             tan (x)                                
                                                                      \2/

$$\frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right)^{2}}{4 \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} - \frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \cos{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)}} - \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}} + 2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} - \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)} - \frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} - \frac{1}{2}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

                                  2                                                                3                                                                                                                                       
                     /       2/x\\                             /       2/x\\    /x\   /       2/x\\                   2                                                  3                         2                                       
                     |1 + tan |-||                             |1 + tan |-||*tan|-|   |1 + tan |-||      /       2   \             /       2   \            /       2   \             /       2   \                                        
                     \        \2//      /       2   \          \        \2//    \2/   \        \2//    4*\1 + tan (x)/ *cos(x)   3*\1 + tan (x)/*cos(x)   2*\1 + tan (x)/ *cos(x)   3*\1 + tan (x)/ *sin(x)     /       2   \              
log(tan(x))*sin(x) + -------------- - 6*\1 + tan (x)/*sin(x) - -------------------- - -------------- - ----------------------- - ---------------------- + ----------------------- + ----------------------- + 4*\1 + tan (x)/*cos(x)*tan(x)
                             /x\                                        2                    3/x\               tan(x)                   tan(x)                      3                         2                                           
                        2*tan|-|                                                        4*tan |-|                                                                 tan (x)                   tan (x)                                        
                             \2/                                                              \2/

$$- \frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right)^{3}}{4 \tan^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right)^{2}}{2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} - \frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{3} \cos{\left(x \right)}}{\tan^{3}{\left(x \right)}} + \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \sin{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)}} - \frac{4 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \cos{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}} - 6 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} + 4 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)} - \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}} + \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)}$$

Simplificar

Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Derivada de y=cosxln(tgx)-ln(tg(x/2))

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución