Derivada de 0.125*ln((x-4)/(x+4))

1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

   1. Sustituimos $u = \frac{x - 4}{x + 4}$.

   2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x - 4}{x + 4}$:

      1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = x - 4$ y $g{\left(x \right)} = x + 4$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. diferenciamos $x - 4$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $-4$ es igual a cero.

            2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Como resultado de: $1$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. diferenciamos $x + 4$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $4$ es igual a cero.

            2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Como resultado de: $1$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{8}{\left(x + 4\right)^{2}}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{8 \left(x + 4\right)}{\left(x - 4\right) \left(x + 4\right)^{2}}$

   Entonces, como resultado: $\frac{x + 4}{\left(x - 4\right) \left(x + 4\right)^{2}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{1}{x^{2} - 16}$

Respuesta:

$\frac{1}{x^{2} - 16}$