Derivada de x/log(x)^(5)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x$ y $g{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}^{5}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \log{\left(x \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{5}$ tenemos $5 u^{4}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}$:

      1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$.

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{5 \log{\left(x \right)}^{4}}{x}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{\log{\left(x \right)}^{5} - 5 \log{\left(x \right)}^{4}}{\log{\left(x \right)}^{10}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\log{\left(x \right)} - 5}{\log{\left(x \right)}^{6}}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(x \right)} - 5}{\log{\left(x \right)}^{6}}$