Derivada de ln((1-cos(x))/(1+cos(x)))

Solución

Ha introducido [src]

   /1 - cos(x)\
log|----------|
   \1 + cos(x)/

$$\log{\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1} \right)}$$

log((1 - cos(x))/(1 + cos(x)))

Solución detallada

Sustituimos $u = \frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}$ .
Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$ .
Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}$ :
1. Se aplica la regla de la derivada parcial:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = 1 - \cos{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} + 1$ .
  
  Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. diferenciamos $1 - \cos{\left(x \right)}$ miembro por miembro:
    1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.
    2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
      1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
        
        $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      Entonces, como resultado: $\sin{\left(x \right)}$
    Como resultado de: $\sin{\left(x \right)}$
  Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. diferenciamos $\cos{\left(x \right)} + 1$ miembro por miembro:
    1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.
    2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
    Como resultado de: $- \sin{\left(x \right)}$
  Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
  
  $\frac{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} + \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}$
Como resultado de la secuencia de reglas:

$\frac{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} + \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)}$
Simplificamos:

$\frac{2}{\sin{\left(x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{2}{\sin{\left(x \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

             /  sin(x)     (1 - cos(x))*sin(x)\
(1 + cos(x))*|---------- + -------------------|
             |1 + cos(x)                  2   |
             \                (1 + cos(x))    /
-----------------------------------------------
                   1 - cos(x)

$$\frac{\left(\frac{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2}} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}\right) \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)}{1 - \cos{\left(x \right)}}$$

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Segunda derivada [src]

                                                 2    /     -1 + cos(x)\      2    /     -1 + cos(x)\                          
               2                              sin (x)*|-1 + -----------|   sin (x)*|-1 + -----------|        2                 
          2*sin (x)    (-1 + cos(x))*cos(x)           \      1 + cos(x)/           \      1 + cos(x)/   2*sin (x)*(-1 + cos(x))
-cos(x) - ---------- + -------------------- + -------------------------- - -------------------------- + -----------------------
          1 + cos(x)        1 + cos(x)               -1 + cos(x)                   1 + cos(x)                            2     
                                                                                                             (1 + cos(x))      
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                          -1 + cos(x)

$$\frac{- \frac{\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{\cos{\left(x \right)} + 1} - 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1} + \frac{\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{\cos{\left(x \right)} + 1} - 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} + \frac{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1} + \frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2}} - \cos{\left(x \right)} - \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}}{\cos{\left(x \right)} - 1}$$

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Tercera derivada [src]

/                                                 /               2                                   2                 \     /               2                                   2                 \                                                                                                                                                                         \       
|                                                 |          2*sin (x)    (-1 + cos(x))*cos(x)   2*sin (x)*(-1 + cos(x))|     |          2*sin (x)    (-1 + cos(x))*cos(x)   2*sin (x)*(-1 + cos(x))|                                                                                                                                                                         |       
|                                               2*|-cos(x) - ---------- + -------------------- + -----------------------|   2*|-cos(x) - ---------- + -------------------- + -----------------------|   /     -1 + cos(x)\          /     -1 + cos(x)\               2    /     -1 + cos(x)\                                                           2    /     -1 + cos(x)\|       
|                                      2          |          1 + cos(x)        1 + cos(x)                         2     |     |          1 + cos(x)        1 + cos(x)                         2     |   |-1 + -----------|*cos(x)   |-1 + -----------|*cos(x)   2*sin (x)*|-1 + -----------|        2                                             2*sin (x)*|-1 + -----------||       
|    -1 + cos(x)    6*cos(x)      6*sin (x)       \                                                   (1 + cos(x))      /     \                                                   (1 + cos(x))      /   \      1 + cos(x)/          \      1 + cos(x)/                    \      1 + cos(x)/   6*sin (x)*(-1 + cos(x))   6*(-1 + cos(x))*cos(x)             \      1 + cos(x)/|       
|1 - ----------- - ---------- - ------------- - ------------------------------------------------------------------------- + ------------------------------------------------------------------------- + ------------------------- - ------------------------- + ---------------------------- + ----------------------- + ---------------------- - ----------------------------|*sin(x)
|     1 + cos(x)   1 + cos(x)               2                                   1 + cos(x)                                                                 -1 + cos(x)                                         -1 + cos(x)                  1 + cos(x)                              2                           3                        2         (1 + cos(x))*(-1 + cos(x)) |       
\                               (1 + cos(x))                                                                                                                                                                                                                           (-1 + cos(x))                (1 + cos(x))             (1 + cos(x))                                     /       
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                                                     -1 + cos(x)

$$\frac{\left(- \frac{\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{\cos{\left(x \right)} + 1} - 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1} + \frac{\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{\cos{\left(x \right)} + 1} - 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} - \frac{2 \left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{\cos{\left(x \right)} + 1} - 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)} + \frac{2 \left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{\cos{\left(x \right)} + 1} - 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)^{2}} - \frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{\cos{\left(x \right)} + 1} + \frac{6 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2}} + \frac{6 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{3}} + 1 - \frac{2 \left(\frac{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1} + \frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2}} - \cos{\left(x \right)} - \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}\right)}{\cos{\left(x \right)} + 1} - \frac{6 \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1} - \frac{6 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2}} + \frac{2 \left(\frac{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1} + \frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2}} - \cos{\left(x \right)} - \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}\right)}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}$$

Simplificar

Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Derivada de ln((1-cos(x))/(1+cos(x)))

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución