Derivada de (1-cos(x))/(1+cos(x))

Solución

Ha introducido [src]

1 - cos(x)
----------
1 + cos(x)

$$\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}$$

(1 - cos(x))/(1 + cos(x))

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = 1 - \cos{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} + 1$ .

Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. diferenciamos $1 - \cos{\left(x \right)}$ miembro por miembro:
  1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.
  2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
    1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
    Entonces, como resultado: $\sin{\left(x \right)}$
  Como resultado de: $\sin{\left(x \right)}$
Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. diferenciamos $\cos{\left(x \right)} + 1$ miembro por miembro:
  1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.
  2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
    
    $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
  Como resultado de: $- \sin{\left(x \right)}$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} + \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}$
Simplificamos:

$\frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}$

Respuesta:

$\frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

  sin(x)     (1 - cos(x))*sin(x)
---------- + -------------------
1 + cos(x)                  2   
                (1 + cos(x))

$$\frac{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2}} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}$$

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Segunda derivada [src]

                           /     2             \         
                           |2*sin (x)          |         
     2       (-1 + cos(x))*|---------- + cos(x)|         
2*sin (x)                  \1 + cos(x)         /         
---------- - ----------------------------------- + cos(x)
1 + cos(x)                1 + cos(x)                     
---------------------------------------------------------
                        1 + cos(x)

$$\frac{- \frac{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \left(\cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}\right)}{\cos{\left(x \right)} + 1} + \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}}{\cos{\left(x \right)} + 1}$$

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Tercera derivada [src]

/                                                          /                         2     \\       
|       /     2             \                              |      6*cos(x)      6*sin (x)  ||       
|       |2*sin (x)          |                (-1 + cos(x))*|-1 + ---------- + -------------||       
|     3*|---------- + cos(x)|                              |     1 + cos(x)               2||       
|       \1 + cos(x)         /    3*cos(x)                  \                  (1 + cos(x)) /|       
|-1 + ----------------------- + ---------- - -----------------------------------------------|*sin(x)
\            1 + cos(x)         1 + cos(x)                      1 + cos(x)                  /       
----------------------------------------------------------------------------------------------------
                                             1 + cos(x)

$$\frac{\left(- \frac{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \left(-1 + \frac{6 \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1} + \frac{6 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}\right)}{\cos{\left(x \right)} + 1} - 1 + \frac{3 \left(\cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}\right)}{\cos{\left(x \right)} + 1} + \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}$$

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Gráfico

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¿Cómo usar?

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Definida a trozos:

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