Derivada de x*sin(x)/sin(x)

Solución

Ha introducido [src]

x*sin(x)
--------
 sin(x)

$$\frac{x \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$

(x*sin(x))/sin(x)

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = x \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ .

Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
  
  $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
  
  $f{\left(x \right)} = x$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
  $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. La derivada del seno es igual al coseno:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  Como resultado de: $x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$
Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. La derivada del seno es igual al coseno:
  
  $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{- x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$
Simplificamos:

$1$

Respuesta:

$1$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

x*cos(x) + sin(x)   x*cos(x)
----------------- - --------
      sin(x)         sin(x)

$$- \frac{x \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

  /         2   \                                                      
  |    2*cos (x)|   -2*cos(x) + x*sin(x)   2*(x*cos(x) + sin(x))*cos(x)
x*|1 + ---------| - -------------------- - ----------------------------
  |        2    |          sin(x)                       2              
  \     sin (x) /                                    sin (x)

$$x \left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) - \frac{x \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{2 \left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

                         /         2   \                         /         2   \                                         
                         |    2*cos (x)|                         |    6*cos (x)|          3*(-2*cos(x) + x*sin(x))*cos(x)
-3*sin(x) - x*cos(x) + 3*|1 + ---------|*(x*cos(x) + sin(x)) - x*|5 + ---------|*cos(x) + -------------------------------
                         |        2    |                         |        2    |                       sin(x)            
                         \     sin (x) /                         \     sin (x) /                                         
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                          sin(x)

$$\frac{- x \left(5 + \frac{6 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)} - x \cos{\left(x \right)} + 3 \left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) + \frac{3 \left(x \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - 3 \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$

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Gráfico

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¿Cómo usar?

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