Derivada de √xsin(x)*cos(x)

Solución

Ha introducido [src]

  ___              
\/ x *sin(x)*cos(x)

$$\sqrt{x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$$

(sqrt(x)*sin(x))*cos(x)

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

$f{\left(x \right)} = \sqrt{x} \sin{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
  
  $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
  
  $f{\left(x \right)} = \sqrt{x}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$
  $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. La derivada del seno es igual al coseno:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  Como resultado de: $\sqrt{x} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2 \sqrt{x}}$
$g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
  
  $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
Como resultado de: $- \sqrt{x} \sin^{2}{\left(x \right)} + \left(\sqrt{x} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2 \sqrt{x}}\right) \cos{\left(x \right)}$
Simplificamos:

$\frac{x \cos{\left(2 x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}}{\sqrt{x}}$

Respuesta:

$\frac{x \cos{\left(2 x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}}{\sqrt{x}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

/  ___           sin(x)\            ___    2   
|\/ x *cos(x) + -------|*cos(x) - \/ x *sin (x)
|                   ___|                       
\               2*\/ x /

$$- \sqrt{x} \sin^{2}{\left(x \right)} + \left(\sqrt{x} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2 \sqrt{x}}\right) \cos{\left(x \right)}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

 /                                   /sin(x)   4*cos(x)       ___       \                             \
 |                                   |------ - -------- + 4*\/ x *sin(x)|*cos(x)                      |
 |                                   |  3/2       ___                   |                             |
 |/sin(x)       ___       \          \ x        \/ x                    /            ___              |
-||------ + 2*\/ x *cos(x)|*sin(x) + ------------------------------------------- + \/ x *cos(x)*sin(x)|
 ||  ___                  |                               4                                           |
 \\\/ x                   /                                                                           /

$$- (\sqrt{x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \left(2 \sqrt{x} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sqrt{x}}\right) \sin{\left(x \right)} + \frac{\left(4 \sqrt{x} \sin{\left(x \right)} - \frac{4 \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{x}} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{\frac{3}{2}}}\right) \cos{\left(x \right)}}{4})$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

                  /sin(x)       ___       \          /  3*sin(x)   6*cos(x)       ___          12*sin(x)\            /sin(x)   4*cos(x)       ___       \       
                3*|------ + 2*\/ x *cos(x)|*cos(x)   |- -------- + -------- + 8*\/ x *cos(x) + ---------|*cos(x)   3*|------ - -------- + 4*\/ x *sin(x)|*sin(x)
                  |  ___                  |          |     5/2        3/2                          ___  |            |  3/2       ___                   |       
  ___    2        \\/ x                   /          \    x          x                           \/ x   /            \ x        \/ x                    /       
\/ x *sin (x) - ---------------------------------- - ----------------------------------------------------------- + ---------------------------------------------
                                2                                                 8                                                      4

$$\sqrt{x} \sin^{2}{\left(x \right)} - \frac{3 \left(2 \sqrt{x} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sqrt{x}}\right) \cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{3 \left(4 \sqrt{x} \sin{\left(x \right)} - \frac{4 \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{x}} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{\frac{3}{2}}}\right) \sin{\left(x \right)}}{4} - \frac{\left(8 \sqrt{x} \cos{\left(x \right)} + \frac{12 \sin{\left(x \right)}}{\sqrt{x}} + \frac{6 \cos{\left(x \right)}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{x^{\frac{5}{2}}}\right) \cos{\left(x \right)}}{8}$$

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