Derivada de x/(sqrt(x)-1)

Solución

Ha introducido [src]

    x    
---------
  ___    
\/ x  - 1

$$\frac{x}{\sqrt{x} - 1}$$

x/(sqrt(x) - 1)

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = x$ y $g{\left(x \right)} = \sqrt{x} - 1$ .

Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. diferenciamos $\sqrt{x} - 1$ miembro por miembro:
  1. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.
  2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$
  Como resultado de: $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{\frac{\sqrt{x}}{2} - 1}{\left(\sqrt{x} - 1\right)^{2}}$
Simplificamos:

$\frac{\sqrt{x} - 2}{2 \left(\sqrt{x} - 1\right)^{2}}$

Respuesta:

$\frac{\sqrt{x} - 2}{2 \left(\sqrt{x} - 1\right)^{2}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

                  ___     
    1           \/ x      
--------- - --------------
  ___                    2
\/ x  - 1     /  ___    \ 
            2*\\/ x  - 1/

$$- \frac{\sqrt{x}}{2 \left(\sqrt{x} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

            / 1           2       \
          x*|---- + --------------|
            | 3/2     /       ___\|
    1       \x      x*\-1 + \/ x //
- ----- + -------------------------
    ___               4            
  \/ x                             
-----------------------------------
                       2           
           /       ___\            
           \-1 + \/ x /

$$\frac{\frac{x \left(\frac{2}{x \left(\sqrt{x} - 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right)}{4} - \frac{1}{\sqrt{x}}}{\left(\sqrt{x} - 1\right)^{2}}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

  / 2       / 1            2                  2         \         4       \
3*|---- - x*|---- + --------------- + ------------------| + --------------|
  | 3/2     | 5/2    2 /       ___\                    2|     /       ___\|
  |x        |x      x *\-1 + \/ x /    3/2 /       ___\ |   x*\-1 + \/ x /|
  \         \                         x   *\-1 + \/ x / /                 /
---------------------------------------------------------------------------
                                            2                              
                                /       ___\                               
                              8*\-1 + \/ x /

$$\frac{3 \left(- x \left(\frac{2}{x^{2} \left(\sqrt{x} - 1\right)} + \frac{2}{x^{\frac{3}{2}} \left(\sqrt{x} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}\right) + \frac{4}{x \left(\sqrt{x} - 1\right)} + \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}}\right)}{8 \left(\sqrt{x} - 1\right)^{2}}$$

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Gráfico

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Definida a trozos:

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