Derivada de y*(-a)*sin(y*t)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} g{\left(y \right)} = f{\left(y \right)} \frac{d}{d y} g{\left(y \right)} + g{\left(y \right)} \frac{d}{d y} f{\left(y \right)}$

   $f{\left(y \right)} = - a y$; calculamos $\frac{d}{d y} f{\left(y \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Según el principio, aplicamos: $y$ tenemos $1$

      Entonces, como resultado: $- a$

   $g{\left(y \right)} = \sin{\left(t y \right)}$; calculamos $\frac{d}{d y} g{\left(y \right)}$:

   1. Sustituimos $u = t y$.

   2. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{\partial}{\partial y} t y$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $y$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $t$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $t \cos{\left(t y \right)}$

   Como resultado de: $- a t y \cos{\left(t y \right)} - a \sin{\left(t y \right)}$

2. Simplificamos:

   $- a \left(t y \cos{\left(t y \right)} + \sin{\left(t y \right)}\right)$

Respuesta:

$- a \left(t y \cos{\left(t y \right)} + \sin{\left(t y \right)}\right)$