Sr Examen

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x*sqrt(1-e^(-x^2))
Derivada de la función/ x*sqrt/ e^(-x^2)/ x*sqrt(1-e^(-x^2))

Derivada de x*sqrt(1-e^(-x^2))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
      __________
     /        2 
    /       -x  
x*\/   1 - E
x1−e−x2x \sqrt{1 - e^{- x^{2}}} 
x*sqrt(1 - E^(-x^2))
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

    f(x)=xex2−1f{\left(x \right)} = x \sqrt{e^{x^{2}} - 1} y g(x)=ex22g{\left(x \right)} = e^{\frac{x^{2}}{2}}.

    Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

      f(x)=xf{\left(x \right)} = x; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

      g(x)=ex2−1g{\left(x \right)} = \sqrt{e^{x^{2}} - 1}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=ex2−1u = e^{x^{2}} - 1.

      2. Según el principio, aplicamos: u\sqrt{u} tenemos 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(ex2−1)\frac{d}{d x} \left(e^{x^{2}} - 1\right):

        1. diferenciamos ex2−1e^{x^{2}} - 1 miembro por miembro:

          1. La derivada de una constante −1-1 es igual a cero.

          2. Sustituimos u=x2u = x^{2}.

          3. Derivado eue^{u} es.

          4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx2\frac{d}{d x} x^{2}:

            1. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            2xex22 x e^{x^{2}}

          Como resultado de: 2xex22 x e^{x^{2}}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        xex2ex2−1\frac{x e^{x^{2}}}{\sqrt{e^{x^{2}} - 1}}

      Como resultado de: x2ex2ex2−1+ex2−1\frac{x^{2} e^{x^{2}}}{\sqrt{e^{x^{2}} - 1}} + \sqrt{e^{x^{2}} - 1}

    Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=x22u = \frac{x^{2}}{2}.

    2. Derivado eue^{u} es.

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx22\frac{d}{d x} \frac{x^{2}}{2}:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

        1. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

        Entonces, como resultado: xx

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      xex22x e^{\frac{x^{2}}{2}}

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    (−x2ex2−1ex22+(x2ex2ex2−1+ex2−1)ex22)e−x2\left(- x^{2} \sqrt{e^{x^{2}} - 1} e^{\frac{x^{2}}{2}} + \left(\frac{x^{2} e^{x^{2}}}{\sqrt{e^{x^{2}} - 1}} + \sqrt{e^{x^{2}} - 1}\right) e^{\frac{x^{2}}{2}}\right) e^{- x^{2}}

  2. Simplificamos:

    (x2+ex2−1)e−x22ex2−1\frac{\left(x^{2} + e^{x^{2}} - 1\right) e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{\sqrt{e^{x^{2}} - 1}}

Respuesta:

(x2+ex2−1)e−x22ex2−1\frac{\left(x^{2} + e^{x^{2}} - 1\right) e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{\sqrt{e^{x^{2}} - 1}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-2020
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
    __________            2    
   /        2        2  -x     
  /       -x        x *e       
\/   1 - E     + --------------
                     __________
                    /        2 
                   /       -x  
                 \/   1 - E
x2e−x21−e−x2+1−e−x2\frac{x^{2} e^{- x^{2}}}{\sqrt{1 - e^{- x^{2}}}} + \sqrt{1 - e^{- x^{2}}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
  /                 2 \     
  |            2  -x  |    2
  |       2   x *e    |  -x 
x*|3 - 2*x  - --------|*e   
  |                  2|     
  |                -x |     
  \           1 - e   /     
----------------------------
           __________       
          /        2        
         /       -x         
       \/   1 - e
x(−2x2−x2e−x21−e−x2+3)e−x21−e−x2\frac{x \left(- 2 x^{2} - \frac{x^{2} e^{- x^{2}}}{1 - e^{- x^{2}}} + 3\right) e^{- x^{2}}}{\sqrt{1 - e^{- x^{2}}}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
/              /                  2              2           2\           2\     
|              |                -x        2  -2*x       2  -x |      2  -x |    2
|       2    2 |        2    3*e       3*x *e        6*x *e   |   3*x *e   |  -x 
|3 - 6*x  + x *|-6 + 4*x  - -------- + ----------- + ---------| - ---------|*e   
|              |                   2             2           2|           2|     
|              |                 -x    /       2\          -x |         -x |     
|              |            1 - e      |     -x |     1 - e   |    1 - e   |     
\              \                       \1 - e   /             /            /     
---------------------------------------------------------------------------------
                                      __________                                 
                                     /        2                                  
                                    /       -x                                   
                                  \/   1 - e
(x2(4x2+6x2e−x21−e−x2+3x2e−2x2(1−e−x2)2−6−3e−x21−e−x2)−6x2−3x2e−x21−e−x2+3)e−x21−e−x2\frac{\left(x^{2} \left(4 x^{2} + \frac{6 x^{2} e^{- x^{2}}}{1 - e^{- x^{2}}} + \frac{3 x^{2} e^{- 2 x^{2}}}{\left(1 - e^{- x^{2}}\right)^{2}} - 6 - \frac{3 e^{- x^{2}}}{1 - e^{- x^{2}}}\right) - 6 x^{2} - \frac{3 x^{2} e^{- x^{2}}}{1 - e^{- x^{2}}} + 3\right) e^{- x^{2}}}{\sqrt{1 - e^{- x^{2}}}}
Simplificar
Gráfico
Derivada de x*sqrt(1-e^(-x^2))
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