Derivada de tan^-1√x

Solución

Ha introducido [src]

    1     
----------
   /  ___\
tan\\/ x /

$$\frac{1}{\tan{\left(\sqrt{x} \right)}}$$

1/tan(sqrt(x))

Solución detallada

Sustituimos $u = \tan{\left(\sqrt{x} \right)}$ .
Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$
Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(\sqrt{x} \right)}$ :
1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
  
  $\tan{\left(\sqrt{x} \right)} = \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}$
2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\sqrt{x} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\sqrt{x} \right)}$ .
  
  Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Sustituimos $u = \sqrt{x}$ .
  2. La derivada del seno es igual al coseno:
    
    $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sqrt{x}$ :
    1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $\frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}$
  Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Sustituimos $u = \sqrt{x}$ .
  2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
    
    $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sqrt{x}$ :
    1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $- \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}$
  Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
  
  $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}} + \frac{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}}{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}$
Como resultado de la secuencia de reglas:

$- \frac{\frac{\sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}} + \frac{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}}{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} \tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}$
Simplificamos:

$- \frac{1}{2 \sqrt{x} \sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}$

Respuesta:

$- \frac{1}{2 \sqrt{x} \sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

 /       2/  ___\\ 
-\1 + tan \\/ x // 
-------------------
    ___    2/  ___\
2*\/ x *tan \\/ x /

$$- \frac{\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1}{2 \sqrt{x} \tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

                  /                          /       2/  ___\\\
/       2/  ___\\ |  2          1          2*\1 + tan \\/ x //|
\1 + tan \\/ x //*|- - + --------------- + -------------------|
                  |  x    3/2    /  ___\           2/  ___\   |
                  \      x   *tan\\/ x /      x*tan \\/ x /   /
---------------------------------------------------------------
                               /  ___\                         
                          4*tan\\/ x /

$$\frac{\left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right) \left(\frac{2 \left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right)}{x \tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}} - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \tan{\left(\sqrt{x} \right)}}\right)}{4 \tan{\left(\sqrt{x} \right)}}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

                  /                                                                                     2                       \
                  |                                              /       2/  ___\\     /       2/  ___\\       /       2/  ___\\|
/       2/  ___\\ |   4            3                 6         6*\1 + tan \\/ x //   6*\1 + tan \\/ x //    10*\1 + tan \\/ x //|
\1 + tan \\/ x //*|- ---- - ---------------- + ------------- - ------------------- - -------------------- + --------------------|
                  |   3/2    5/2    2/  ___\    2    /  ___\       2    3/  ___\        3/2    4/  ___\        3/2    2/  ___\  |
                  \  x      x   *tan \\/ x /   x *tan\\/ x /      x *tan \\/ x /       x   *tan \\/ x /       x   *tan \\/ x /  /
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                8

$$\frac{\left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right) \left(- \frac{6 \left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right)}{x^{2} \tan^{3}{\left(\sqrt{x} \right)}} + \frac{6}{x^{2} \tan{\left(\sqrt{x} \right)}} - \frac{6 \left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right)^{2}}{x^{\frac{3}{2}} \tan^{4}{\left(\sqrt{x} \right)}} + \frac{10 \left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right)}{x^{\frac{3}{2}} \tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}} - \frac{4}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{x^{\frac{5}{2}} \tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}\right)}{8}$$

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Gráfico

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¿Cómo usar?

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Derivada de tan^-1√x

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Solución