Derivada de y=(5x+6)^4(3-2x)/(x+1)sqrt(x+4)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \left(3 - 2 x\right) \sqrt{x + 4} \left(5 x + 6\right)^{4}$ y $g{\left(x \right)} = x + 1$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} h{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} h{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} h{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} h{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = \sqrt{x + 4}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = x + 4$.

      2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 4\right)$:

         1. diferenciamos $x + 4$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $4$ es igual a cero.

            2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Como resultado de: $1$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{1}{2 \sqrt{x + 4}}$

      $g{\left(x \right)} = \left(5 x + 6\right)^{4}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 5 x + 6$.

      2. Según el principio, aplicamos: $u^{4}$ tenemos $4 u^{3}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(5 x + 6\right)$:

         1. diferenciamos $5 x + 6$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $6$ es igual a cero.

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $5$

            Como resultado de: $5$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $20 \left(5 x + 6\right)^{3}$

      $h{\left(x \right)} = 3 - 2 x$; calculamos $\frac{d}{d x} h{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $3 - 2 x$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $3$ es igual a cero.

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $-2$

         Como resultado de: $-2$

      Como resultado de: $20 \left(3 - 2 x\right) \sqrt{x + 4} \left(5 x + 6\right)^{3} + \frac{\left(3 - 2 x\right) \left(5 x + 6\right)^{4}}{2 \sqrt{x + 4}} - 2 \sqrt{x + 4} \left(5 x + 6\right)^{4}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $x + 1$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

      2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      Como resultado de: $1$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- \left(3 - 2 x\right) \sqrt{x + 4} \left(5 x + 6\right)^{4} + \left(x + 1\right) \left(20 \left(3 - 2 x\right) \sqrt{x + 4} \left(5 x + 6\right)^{3} + \frac{\left(3 - 2 x\right) \left(5 x + 6\right)^{4}}{2 \sqrt{x + 4}} - 2 \sqrt{x + 4} \left(5 x + 6\right)^{4}\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}$

2. Simplificamos:

   $- \frac{11250 x^{6} + 82625 x^{5} + 195125 x^{4} + 150720 x^{3} - 65448 x^{2} - 148176 x - 55728}{2 \sqrt{x + 4} \left(x^{2} + 2 x + 1\right)}$

Respuesta:

$- \frac{11250 x^{6} + 82625 x^{5} + 195125 x^{4} + 150720 x^{3} - 65448 x^{2} - 148176 x - 55728}{2 \sqrt{x + 4} \left(x^{2} + 2 x + 1\right)}$