Derivada de x*ln(ax+b)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   $g{\left(x \right)} = \log{\left(a x + b \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = a x + b$.

   2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{\partial}{\partial x} \left(a x + b\right)$:

      1. diferenciamos $a x + b$ miembro por miembro:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $a$

         2. La derivada de una constante $b$ es igual a cero.

         Como resultado de: $a$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{a}{a x + b}$

   Como resultado de: $\frac{a x}{a x + b} + \log{\left(a x + b \right)}$

2. Simplificamos:

   $\frac{a x + \left(a x + b\right) \log{\left(a x + b \right)}}{a x + b}$

Respuesta:

$\frac{a x + \left(a x + b\right) \log{\left(a x + b \right)}}{a x + b}$