Derivada de ctg(1/x)

Solución

Ha introducido [src]

   /1\
cot|-|
   \x/

$$\cot{\left(\frac{1}{x} \right)}$$

cot(1/x)

Solución detallada

Hay varias formas de calcular esta derivada.
Method #1
1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
  
  $\cot{\left(\frac{1}{x} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(\frac{1}{x} \right)}}$
2. Sustituimos $u = \tan{\left(\frac{1}{x} \right)}$ .
3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$
4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{1}{x} \right)}$ :
  1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
    
    $\tan{\left(\frac{1}{x} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}$
  2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}$ .
    
    Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Sustituimos $u = \frac{1}{x}$ .
    2. La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{1}{x}$ :
      
      Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{x}$ tenemos $- \frac{1}{x^{2}}$
      
      Como resultado de la secuencia de reglas:
      
      $- \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$
    Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Sustituimos $u = \frac{1}{x}$ .
    2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{1}{x}$ :
      
      Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{x}$ tenemos $- \frac{1}{x^{2}}$
      
      Como resultado de la secuencia de reglas:
      
      $\frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$
    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
    
    $\frac{- \frac{\sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} - \frac{\cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}}{\cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $- \frac{- \frac{\sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} - \frac{\cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}}{\cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}$
Method #2
1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
  
  $\cot{\left(\frac{1}{x} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}$
2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}$ .
  
  Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Sustituimos $u = \frac{1}{x}$ .
  2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
    
    $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{1}{x}$ :
    1. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{x}$ tenemos $- \frac{1}{x^{2}}$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $\frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$
  Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Sustituimos $u = \frac{1}{x}$ .
  2. La derivada del seno es igual al coseno:
    
    $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{1}{x}$ :
    1. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{x}$ tenemos $- \frac{1}{x^{2}}$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $- \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$
  Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
  
  $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}}{\sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}$
Simplificamos:

$\frac{1}{x^{2} \sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}$

Respuesta:

$\frac{1}{x^{2} \sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

 /        2/1\\ 
-|-1 - cot |-|| 
 \         \x// 
----------------
        2       
       x

$$- \frac{- \cot^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} - 1}{x^{2}}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

                /        /1\\
                |     cot|-||
  /       2/1\\ |        \x/|
2*|1 + cot |-||*|-1 + ------|
  \        \x// \       x   /
-----------------------------
               3             
              x

$$\frac{2 \left(-1 + \frac{\cot{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) \left(\cot^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right)}{x^{3}}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

                /           2/1\        /1\        2/1\\
                |    1 + cot |-|   6*cot|-|   2*cot |-||
  /       2/1\\ |            \x/        \x/         \x/|
2*|1 + cot |-||*|3 + ----------- - -------- + ---------|
  \        \x// |          2          x            2   |
                \         x                       x    /
--------------------------------------------------------
                            4                           
                           x

$$\frac{2 \left(\cot^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right) \left(3 - \frac{6 \cot{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x} + \frac{\cot^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1}{x^{2}} + \frac{2 \cot^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}\right)}{x^{4}}$$

Simplificar

Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Derivada de ctg(1/x)

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Method #1

Method #2