Derivada de y=e^(-2x)×ln(3x+1)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \log{\left(3 x + 1 \right)}$ y $g{\left(x \right)} = e^{2 x}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 3 x + 1$.

   2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(3 x + 1\right)$:

      1. diferenciamos $3 x + 1$ miembro por miembro:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $3$

         2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         Como resultado de: $3$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{3}{3 x + 1}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 2 x$.

   2. Derivado $e^{u}$ es.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $2$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $2 e^{2 x}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\left(- 2 e^{2 x} \log{\left(3 x + 1 \right)} + \frac{3 e^{2 x}}{3 x + 1}\right) e^{- 4 x}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\left(- 2 \left(3 x + 1\right) \log{\left(3 x + 1 \right)} + 3\right) e^{- 2 x}}{3 x + 1}$

Respuesta:

$\frac{\left(- 2 \left(3 x + 1\right) \log{\left(3 x + 1 \right)} + 3\right) e^{- 2 x}}{3 x + 1}$