Derivada de y=1/sin(5*x)^5

1. Sustituimos $u = \sin^{5}{\left(5 x \right)}$.

2. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin^{5}{\left(5 x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \sin{\left(5 x \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{5}$ tenemos $5 u^{4}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(5 x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 5 x$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $5$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $5 \cos{\left(5 x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $25 \sin^{4}{\left(5 x \right)} \cos{\left(5 x \right)}$

   Como resultado de la secuencia de reglas:

   $- \frac{25 \cos{\left(5 x \right)}}{\sin^{6}{\left(5 x \right)}}$

Respuesta:

$- \frac{25 \cos{\left(5 x \right)}}{\sin^{6}{\left(5 x \right)}}$