Sr Examen

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y=cosx*sqrt(1+sin^2x)
Derivada de la función/ sin^2/ y=cos/ x*sqrt/ y=cosx*sqrt(1+sin^2x)

Derivada de y=cosx*sqrt(1+sin^2x)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          _____________
         /        2    
cos(x)*\/  1 + sin (x)
sin⁡2(x)+1cos⁡(x)\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1} \cos{\left(x \right)} 
cos(x)*sqrt(1 + sin(x)^2)
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

    ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

    f(x)=cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

      ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

    g(x)=sin⁡2(x)+1g{\left(x \right)} = \sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=sin⁡2(x)+1u = \sin^{2}{\left(x \right)} + 1.

    2. Según el principio, aplicamos: u\sqrt{u} tenemos 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(sin⁡2(x)+1)\frac{d}{d x} \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right):

      1. diferenciamos sin⁡2(x)+1\sin^{2}{\left(x \right)} + 1 miembro por miembro:

        1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

        2. Sustituimos u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        3. Según el principio, aplicamos: u2u^{2} tenemos 2u2 u

        4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxsin⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}:

          1. La derivada del seno es igual al coseno:

            ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          2sin⁡(x)cos⁡(x)2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

        Como resultado de: 2sin⁡(x)cos⁡(x)2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      sin⁡(x)cos⁡(x)sin⁡2(x)+1\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}}

    Como resultado de: −sin⁡2(x)+1sin⁡(x)+sin⁡(x)cos⁡2(x)sin⁡2(x)+1- \sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1} \sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}}

  2. Simplificamos:

    −2sin⁡3(x)sin⁡2(x)+1- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}}

Respuesta:

−2sin⁡3(x)sin⁡2(x)+1- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-10105-5
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
     _____________              2           
    /        2               cos (x)*sin(x) 
- \/  1 + sin (x) *sin(x) + ----------------
                               _____________
                              /        2    
                            \/  1 + sin (x)
−sin⁡2(x)+1sin⁡(x)+sin⁡(x)cos⁡2(x)sin⁡2(x)+1- \sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1} \sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
 /                                          2       2                      \       
 |                      2         2      cos (x)*sin (x)                   |       
 |                   sin (x) - cos (x) + ---------------                   |       
 |   _____________                                2                2       |       
 |  /        2                             1 + sin (x)        2*sin (x)    |       
-|\/  1 + sin (x)  + ----------------------------------- + ----------------|*cos(x)
 |                                _____________               _____________|       
 |                               /        2                  /        2    |       
 \                             \/  1 + sin (x)             \/  1 + sin (x) /
−(sin⁡2(x)+1+sin⁡2(x)−cos⁡2(x)+sin⁡2(x)cos⁡2(x)sin⁡2(x)+1sin⁡2(x)+1+2sin⁡2(x)sin⁡2(x)+1)cos⁡(x)- \left(\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}}{\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}}\right) \cos{\left(x \right)}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
/                                                                                        /          2             2            2       2   \\       
|                                        /                       2       2   \      2    |     3*sin (x)     3*cos (x)    3*cos (x)*sin (x)||       
|                                        |   2         2      cos (x)*sin (x)|   cos (x)*|4 - ----------- + ----------- - -----------------||       
|                                      3*|sin (x) - cos (x) + ---------------|           |           2             2                     2 ||       
|   _____________           2            |                             2     |           |    1 + sin (x)   1 + sin (x)     /       2   \  ||       
|  /        2          3*cos (x)         \                      1 + sin (x)  /           \                                  \1 + sin (x)/  /|       
|\/  1 + sin (x)  - ---------------- + --------------------------------------- - -----------------------------------------------------------|*sin(x)
|                      _____________                  _____________                                       _____________                     |       
|                     /        2                     /        2                                          /        2                         |       
\                   \/  1 + sin (x)                \/  1 + sin (x)                                     \/  1 + sin (x)                      /
(sin⁡2(x)+1+3(sin⁡2(x)−cos⁡2(x)+sin⁡2(x)cos⁡2(x)sin⁡2(x)+1)sin⁡2(x)+1−(4−3sin⁡2(x)sin⁡2(x)+1+3cos⁡2(x)sin⁡2(x)+1−3sin⁡2(x)cos⁡2(x)(sin⁡2(x)+1)2)cos⁡2(x)sin⁡2(x)+1−3cos⁡2(x)sin⁡2(x)+1)sin⁡(x)\left(\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1} + \frac{3 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}\right)}{\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}} - \frac{\left(4 - \frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1} - \frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}} - \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}}\right) \sin{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=cosx*sqrt(1+sin^2x)
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