Derivada de x*exp(x)*(cos(6x)+sin(6x))

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x e^{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = e^{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Derivado $e^{x}$ es.

      Como resultado de: $x e^{x} + e^{x}$

   $g{\left(x \right)} = \sin{\left(6 x \right)} + \cos{\left(6 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $\sin{\left(6 x \right)} + \cos{\left(6 x \right)}$ miembro por miembro:

      1. Sustituimos $u = 6 x$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 6 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $6$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- 6 \sin{\left(6 x \right)}$

      4. Sustituimos $u = 6 x$.

      5. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      6. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 6 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $6$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $6 \cos{\left(6 x \right)}$

      Como resultado de: $- 6 \sin{\left(6 x \right)} + 6 \cos{\left(6 x \right)}$

   Como resultado de: $x \left(- 6 \sin{\left(6 x \right)} + 6 \cos{\left(6 x \right)}\right) e^{x} + \left(x e^{x} + e^{x}\right) \left(\sin{\left(6 x \right)} + \cos{\left(6 x \right)}\right)$

2. Simplificamos:

   $\sqrt{2} \left(6 x \cos{\left(6 x + \frac{\pi}{4} \right)} + \left(x + 1\right) \sin{\left(6 x + \frac{\pi}{4} \right)}\right) e^{x}$

Respuesta:

$\sqrt{2} \left(6 x \cos{\left(6 x + \frac{\pi}{4} \right)} + \left(x + 1\right) \sin{\left(6 x + \frac{\pi}{4} \right)}\right) e^{x}$