Derivada de x×(ex)×(cos(x)-sin(x))

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = e^{x} x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = e^{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Derivado $e^{x}$ es.

      Como resultado de: $e^{x} + x e^{x}$

   $g{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

      1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         Entonces, como resultado: $- \cos{\left(x \right)}$

      Como resultado de: $- \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$

   Como resultado de: $x \left(- \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{x} + \left(e^{x} + x e^{x}\right) \left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)$

2. Simplificamos:

   $\left(- 2 x \sin{\left(x \right)} + \sqrt{2} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\right) e^{x}$

Respuesta:

$\left(- 2 x \sin{\left(x \right)} + \sqrt{2} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\right) e^{x}$