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y=(cos^5+x^4)/ctg^2
Derivada de la función/ ctg^2/ y=(cos^5+x^4)/ctg^2

Derivada de y=(cos^5+x^4)/ctg^2

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
   5       4
cos (x) + x 
------------
     2      
  cot (x)
x4+cos⁡5(x)cot⁡2(x)\frac{x^{4} + \cos^{5}{\left(x \right)}}{\cot^{2}{\left(x \right)}} 
(cos(x)^5 + x^4)/cot(x)^2
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

    f(x)=x4+cos⁡5(x)f{\left(x \right)} = x^{4} + \cos^{5}{\left(x \right)} y g(x)=cot⁡2(x)g{\left(x \right)} = \cot^{2}{\left(x \right)}.

    Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. diferenciamos x4+cos⁡5(x)x^{4} + \cos^{5}{\left(x \right)} miembro por miembro:

      1. Según el principio, aplicamos: x4x^{4} tenemos 4x34 x^{3}

      2. Sustituimos u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

      3. Según el principio, aplicamos: u5u^{5} tenemos 5u45 u^{4}

      4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxcos⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}:

        1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

          ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        −5sin⁡(x)cos⁡4(x)- 5 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}

      Como resultado de: 4x3−5sin⁡(x)cos⁡4(x)4 x^{3} - 5 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}

    Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=cot⁡(x)u = \cot{\left(x \right)}.

    2. Según el principio, aplicamos: u2u^{2} tenemos 2u2 u

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxcot⁡(x)\frac{d}{d x} \cot{\left(x \right)}:

      1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

        Method #1

        1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

          cot⁡(x)=1tan⁡(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}

        2. Sustituimos u=tan⁡(x)u = \tan{\left(x \right)}.

        3. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos −1u2- \frac{1}{u^{2}}

        4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}:

          1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

          2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

            f(x)=sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} y g(x)=cos⁡(x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

            Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

            1. La derivada del seno es igual al coseno:

              ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

            Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

            1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

              ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          −sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

        Method #2

        1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

          cot⁡(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

        2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

          ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

          f(x)=cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} y g(x)=sin⁡(x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

          Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

          1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

          Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

          1. La derivada del seno es igual al coseno:

            ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

          Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

          −sin⁡2(x)−cos⁡2(x)sin⁡2(x)\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      −2(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))cot⁡(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)- \frac{2 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cot{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    (4x3−5sin⁡(x)cos⁡4(x))cot⁡2(x)+2(x4+cos⁡5(x))(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))cot⁡(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)cot⁡4(x)\frac{\left(4 x^{3} - 5 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\right) \cot^{2}{\left(x \right)} + \frac{2 \left(x^{4} + \cos^{5}{\left(x \right)}\right) \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cot{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}}{\cot^{4}{\left(x \right)}}

  2. Simplificamos:

    (2x4+4x3sin⁡(x)cos⁡(x)+5cos⁡7(x)−3cos⁡5(x))tan⁡(x)cos⁡2(x)\frac{\left(2 x^{4} + 4 x^{3} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 5 \cos^{7}{\left(x \right)} - 3 \cos^{5}{\left(x \right)}\right) \tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

Respuesta:

(2x4+4x3sin⁡(x)cos⁡(x)+5cos⁡7(x)−3cos⁡5(x))tan⁡(x)cos⁡2(x)\frac{\left(2 x^{4} + 4 x^{3} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 5 \cos^{7}{\left(x \right)} - 3 \cos^{5}{\left(x \right)}\right) \tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-5000000050000000
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
   3        4             /          2   \ /   5       4\
4*x  - 5*cos (x)*sin(x)   \-2 - 2*cot (x)/*\cos (x) + x /
----------------------- - -------------------------------
           2                             3               
        cot (x)                       cot (x)
4x3−5sin⁡(x)cos⁡4(x)cot⁡2(x)−(x4+cos⁡5(x))(−2cot⁡2(x)−2)cot⁡3(x)\frac{4 x^{3} - 5 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}}{\cot^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\left(x^{4} + \cos^{5}{\left(x \right)}\right) \left(- 2 \cot^{2}{\left(x \right)} - 2\right)}{\cot^{3}{\left(x \right)}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
                                                           /       /       2   \\                    /       2   \ /   3        4          \
       5          2         3       2        /       2   \ |     3*\1 + cot (x)/| / 4      5   \   4*\1 + cot (x)/*\4*x  - 5*cos (x)*sin(x)/
- 5*cos (x) + 12*x  + 20*cos (x)*sin (x) + 2*\1 + cot (x)/*|-2 + ---------------|*\x  + cos (x)/ + -----------------------------------------
                                                           |            2       |                                    cot(x)                 
                                                           \         cot (x)    /                                                           
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                     2                                                                      
                                                                  cot (x)
12x2+4(4x3−5sin⁡(x)cos⁡4(x))(cot⁡2(x)+1)cot⁡(x)+2(x4+cos⁡5(x))(3(cot⁡2(x)+1)cot⁡2(x)−2)(cot⁡2(x)+1)+20sin⁡2(x)cos⁡3(x)−5cos⁡5(x)cot⁡2(x)\frac{12 x^{2} + \frac{4 \left(4 x^{3} - 5 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\cot{\left(x \right)}} + 2 \left(x^{4} + \cos^{5}{\left(x \right)}\right) \left(\frac{3 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\cot^{2}{\left(x \right)}} - 2\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + 20 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} - 5 \cos^{5}{\left(x \right)}}{\cot^{2}{\left(x \right)}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
                                                                                                                                                                                                       /       /       2   \\                          
                                                                                                                                                                                         /       2   \ |     3*\1 + cot (x)/| /   3        4          \
                                                                                                                                            /                                     2\   6*\1 + cot (x)/*|-2 + ---------------|*\4*x  - 5*cos (x)*sin(x)/
             2       3            4               /       2   \ /       5          2         3       2   \                                  |      /       2   \     /       2   \ |                   |            2       |                          
24*x - 60*cos (x)*sin (x) + 65*cos (x)*sin(x)   6*\1 + cot (x)/*\- 5*cos (x) + 12*x  + 20*cos (x)*sin (x)/     /       2   \ / 4      5   \ |    4*\1 + cot (x)/   3*\1 + cot (x)/ |                   \         cot (x)    /                          
--------------------------------------------- + ---------------------------------------------------------- + 8*\1 + cot (x)/*\x  + cos (x)/*|1 - --------------- + ----------------| + ----------------------------------------------------------------
                    cot(x)                                                  2                                                               |           2                 4        |                                cot(x)                             
                                                                         cot (x)                                                            \        cot (x)           cot (x)     /                                                                   
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                         cot(x)
6(4x3−5sin⁡(x)cos⁡4(x))(3(cot⁡2(x)+1)cot⁡2(x)−2)(cot⁡2(x)+1)cot⁡(x)+8(x4+cos⁡5(x))(cot⁡2(x)+1)(3(cot⁡2(x)+1)2cot⁡4(x)−4(cot⁡2(x)+1)cot⁡2(x)+1)+6(cot⁡2(x)+1)(12x2+20sin⁡2(x)cos⁡3(x)−5cos⁡5(x))cot⁡2(x)+24x−60sin⁡3(x)cos⁡2(x)+65sin⁡(x)cos⁡4(x)cot⁡(x)cot⁡(x)\frac{\frac{6 \left(4 x^{3} - 5 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\right) \left(\frac{3 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\cot^{2}{\left(x \right)}} - 2\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\cot{\left(x \right)}} + 8 \left(x^{4} + \cos^{5}{\left(x \right)}\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\frac{3 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\cot^{4}{\left(x \right)}} - \frac{4 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\cot^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) + \frac{6 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(12 x^{2} + 20 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} - 5 \cos^{5}{\left(x \right)}\right)}{\cot^{2}{\left(x \right)}} + \frac{24 x - 60 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 65 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}}{\cot{\left(x \right)}}}{\cot{\left(x \right)}}
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=(cos^5+x^4)/ctg^2
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