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Derivada de la función/ xln(x+((x^2+a^2)^0,5))-(x^2+a^2)^0,5

Derivada de xln(x+((x^2+a^2)^0,5))-(x^2+a^2)^0,5

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /       _________\      _________
     |      /  2    2 |     /  2    2 
x*log\x + \/  x  + a  / - \/  x  + a
xlog⁡(x+a2+x2)−a2+x2x \log{\left(x + \sqrt{a^{2} + x^{2}} \right)} - \sqrt{a^{2} + x^{2}} 
x*log(x + sqrt(x^2 + a^2)) - sqrt(x^2 + a^2)
Solución detallada

  1. diferenciamos xlog⁡(x+a2+x2)−a2+x2x \log{\left(x + \sqrt{a^{2} + x^{2}} \right)} - \sqrt{a^{2} + x^{2}} miembro por miembro:

    1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

      f(x)=xf{\left(x \right)} = x; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

      g(x)=log⁡(x+a2+x2)g{\left(x \right)} = \log{\left(x + \sqrt{a^{2} + x^{2}} \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=x+a2+x2u = x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}.

      2. Derivado log⁡(u)\log{\left(u \right)} es 1u\frac{1}{u}.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ∂∂x(x+a2+x2)\frac{\partial}{\partial x} \left(x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}\right):

        1. diferenciamos x+a2+x2x + \sqrt{a^{2} + x^{2}} miembro por miembro:

          1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          2. Sustituimos u=a2+x2u = a^{2} + x^{2}.

          3. Según el principio, aplicamos: u\sqrt{u} tenemos 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

          4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ∂∂x(a2+x2)\frac{\partial}{\partial x} \left(a^{2} + x^{2}\right):

            1. diferenciamos a2+x2a^{2} + x^{2} miembro por miembro:

              1. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

              2. La derivada de una constante a2a^{2} es igual a cero.

              Como resultado de: 2x2 x

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            xa2+x2\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}

          Como resultado de: xa2+x2+1\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + 1

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        xa2+x2+1x+a2+x2\frac{\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + 1}{x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}}

      Como resultado de: x(xa2+x2+1)x+a2+x2+log⁡(x+a2+x2)\frac{x \left(\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + 1\right)}{x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}} + \log{\left(x + \sqrt{a^{2} + x^{2}} \right)}

    2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos u=a2+x2u = a^{2} + x^{2}.

      2. Según el principio, aplicamos: u\sqrt{u} tenemos 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ∂∂x(a2+x2)\frac{\partial}{\partial x} \left(a^{2} + x^{2}\right):

        1. diferenciamos a2+x2a^{2} + x^{2} miembro por miembro:

          1. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

          2. La derivada de una constante a2a^{2} es igual a cero.

          Como resultado de: 2x2 x

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        xa2+x2\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}

      Entonces, como resultado: −xa2+x2- \frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}

    Como resultado de: x(xa2+x2+1)x+a2+x2−xa2+x2+log⁡(x+a2+x2)\frac{x \left(\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + 1\right)}{x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}} - \frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + \log{\left(x + \sqrt{a^{2} + x^{2}} \right)}

  2. Simplificamos:

    log⁡(x+a2+x2)\log{\left(x + \sqrt{a^{2} + x^{2}} \right)}

Respuesta:

log⁡(x+a2+x2)\log{\left(x + \sqrt{a^{2} + x^{2}} \right)}

Primera derivada [src] 
                   /         x      \                        
                 x*|1 + ------------|                        
                   |       _________|                        
                   |      /  2    2 |      /       _________\
       x           \    \/  x  + a  /      |      /  2    2 |
- ------------ + -------------------- + log\x + \/  x  + a  /
     _________            _________                          
    /  2    2            /  2    2                           
  \/  x  + a       x + \/  x  + a
x(xa2+x2+1)x+a2+x2−xa2+x2+log⁡(x+a2+x2)\frac{x \left(\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + 1\right)}{x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}} - \frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + \log{\left(x + \sqrt{a^{2} + x^{2}} \right)}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
                                                                           2                                  
                                  /         x      \     /         x      \              /         2  \       
                                2*|1 + ------------|   x*|1 + ------------|              |        x   |       
                                  |       _________|     |       _________|            x*|-1 + -------|       
                       2          |      /  2    2 |     |      /  2    2 |              |      2    2|       
       1              x           \    \/  a  + x  /     \    \/  a  + x  /              \     a  + x /       
- ------------ + ------------ + -------------------- - --------------------- - -------------------------------
     _________            3/2            _________                        2    /       _________\    _________
    /  2    2    / 2    2\              /  2    2       /       _________\     |      /  2    2 |   /  2    2 
  \/  a  + x     \a  + x /        x + \/  a  + x        |      /  2    2 |     \x + \/  a  + x  /*\/  a  + x  
                                                        \x + \/  a  + x  /
x2(a2+x2)32−x(xa2+x2+1)2(x+a2+x2)2−x(x2a2+x2−1)a2+x2(x+a2+x2)+2(xa2+x2+1)x+a2+x2−1a2+x2\frac{x^{2}}{\left(a^{2} + x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{x \left(\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + 1\right)^{2}}{\left(x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}\right)^{2}} - \frac{x \left(\frac{x^{2}}{a^{2} + x^{2}} - 1\right)}{\sqrt{a^{2} + x^{2}} \left(x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}\right)} + \frac{2 \left(\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + 1\right)}{x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
                                     2                                                                          3                                                            /         2  \
                   /         x      \                             /         2  \              /         x      \               /         2  \             /         x      \ |        x   |
                 3*|1 + ------------|                             |        x   |          2*x*|1 + ------------|             2 |        x   |         3*x*|1 + ------------|*|-1 + -------|
                   |       _________|                           3*|-1 + -------|              |       _________|          3*x *|-1 + -------|             |       _________| |      2    2|
         3         |      /  2    2 |                             |      2    2|              |      /  2    2 |               |      2    2|             |      /  2    2 | \     a  + x /
      3*x          \    \/  a  + x  /        3*x                  \     a  + x /              \    \/  a  + x  /               \     a  + x /             \    \/  a  + x  /               
- ------------ - --------------------- + ------------ - ------------------------------- + ----------------------- + ------------------------------- + -------------------------------------
           5/2                      2             3/2   /       _________\    _________                       3     /       _________\          3/2                        2               
  / 2    2\       /       _________\     / 2    2\      |      /  2    2 |   /  2    2      /       _________\      |      /  2    2 | / 2    2\         /       _________\     _________  
  \a  + x /       |      /  2    2 |     \a  + x /      \x + \/  a  + x  /*\/  a  + x       |      /  2    2 |      \x + \/  a  + x  /*\a  + x /         |      /  2    2 |    /  2    2   
                  \x + \/  a  + x  /                                                        \x + \/  a  + x  /                                           \x + \/  a  + x  / *\/  a  + x
−3x3(a2+x2)52+3x2(x2a2+x2−1)(a2+x2)32(x+a2+x2)+2x(xa2+x2+1)3(x+a2+x2)3+3x(xa2+x2+1)(x2a2+x2−1)a2+x2(x+a2+x2)2+3x(a2+x2)32−3(xa2+x2+1)2(x+a2+x2)2−3(x2a2+x2−1)a2+x2(x+a2+x2)- \frac{3 x^{3}}{\left(a^{2} + x^{2}\right)^{\frac{5}{2}}} + \frac{3 x^{2} \left(\frac{x^{2}}{a^{2} + x^{2}} - 1\right)}{\left(a^{2} + x^{2}\right)^{\frac{3}{2}} \left(x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}\right)} + \frac{2 x \left(\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + 1\right)^{3}}{\left(x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}\right)^{3}} + \frac{3 x \left(\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + 1\right) \left(\frac{x^{2}}{a^{2} + x^{2}} - 1\right)}{\sqrt{a^{2} + x^{2}} \left(x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}\right)^{2}} + \frac{3 x}{\left(a^{2} + x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 \left(\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + 1\right)^{2}}{\left(x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}\right)^{2}} - \frac{3 \left(\frac{x^{2}}{a^{2} + x^{2}} - 1\right)}{\sqrt{a^{2} + x^{2}} \left(x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}\right)}
Simplificar
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