Sr Examen

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y=ln(x^2/(4-x^2))
Derivada de la función/ 4-x^2/ y=ln(x^2/(4-x^2))

Derivada de y=ln(x^2/(4-x^2))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
   /   2  \
   |  x   |
log|------|
   |     2|
   \4 - x /
log⁡(x24−x2)\log{\left(\frac{x^{2}}{4 - x^{2}} \right)} 
log(x^2/(4 - x^2))
Solución detallada

  1. Sustituimos u=x24−x2u = \frac{x^{2}}{4 - x^{2}}.

  2. Derivado log⁡(u)\log{\left(u \right)} es 1u\frac{1}{u}.

  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx24−x2\frac{d}{d x} \frac{x^{2}}{4 - x^{2}}:

    1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

      f(x)=x2f{\left(x \right)} = x^{2} y g(x)=4−x2g{\left(x \right)} = 4 - x^{2}.

      Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

      Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. diferenciamos 4−x24 - x^{2} miembro por miembro:

        1. La derivada de una constante 44 es igual a cero.

        2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

          Entonces, como resultado: −2x- 2 x

        Como resultado de: −2x- 2 x

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      2x3+2x(4−x2)(4−x2)2\frac{2 x^{3} + 2 x \left(4 - x^{2}\right)}{\left(4 - x^{2}\right)^{2}}

    Como resultado de la secuencia de reglas:

    2x3+2x(4−x2)x2(4−x2)\frac{2 x^{3} + 2 x \left(4 - x^{2}\right)}{x^{2} \left(4 - x^{2}\right)}

  4. Simplificamos:

    −8x(x2−4)- \frac{8}{x \left(x^{2} - 4\right)}

Respuesta:

−8x(x2−4)- \frac{8}{x \left(x^{2} - 4\right)}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-5050
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
         /               3  \
/     2\ | 2*x        2*x   |
\4 - x /*|------ + ---------|
         |     2           2|
         |4 - x    /     2\ |
         \         \4 - x / /
-----------------------------
               2             
              x
(4−x2)(2x3(4−x2)2+2x4−x2)x2\frac{\left(4 - x^{2}\right) \left(\frac{2 x^{3}}{\left(4 - x^{2}\right)^{2}} + \frac{2 x}{4 - x^{2}}\right)}{x^{2}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
  /         2          4                                         \
  |      5*x        4*x         /         2  \     /         2  \|
  |1 - ------- + ----------     |        x   |     |        x   ||
  |          2            2   2*|-1 + -------|   2*|-1 + -------||
  |    -4 + x    /      2\      |           2|     |           2||
  |              \-4 + x /      \     -4 + x /     \     -4 + x /|
2*|------------------------ - ---------------- + ----------------|
  |            2                        2                2       |
  \           x                   -4 + x                x        /
2(−2(x2x2−4−1)x2−4+2(x2x2−4−1)x2+4x4(x2−4)2−5x2x2−4+1x2)2 \left(- \frac{2 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} + \frac{2 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2}} + \frac{\frac{4 x^{4}}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} - \frac{5 x^{2}}{x^{2} - 4} + 1}{x^{2}}\right)
Simplificar
Tercera derivada [src] 
  /    /         2          4   \                        /         2          4   \     /         2          4   \                   \
  |    |      3*x        2*x    |     /         2  \     |      5*x        4*x    |     |      5*x        4*x    |     /         2  \|
  |  6*|1 - ------- + ----------|     |        x   |   2*|1 - ------- + ----------|   2*|1 - ------- + ----------|     |        x   ||
  |    |          2            2|   3*|-1 + -------|     |          2            2|     |          2            2|   3*|-1 + -------||
  |    |    -4 + x    /      2\ |     |           2|     |    -4 + x    /      2\ |     |    -4 + x    /      2\ |     |           2||
  |    \              \-4 + x / /     \     -4 + x /     \              \-4 + x / /     \              \-4 + x / /     \     -4 + x /|
4*|- ---------------------------- - ---------------- - ---------------------------- + ---------------------------- + ----------------|
  |                  2                      2                        2                                2                        2     |
  \            -4 + x                      x                        x                           -4 + x                   -4 + x      /
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                  x
4(3(x2x2−4−1)x2−4−6(2x4(x2−4)2−3x2x2−4+1)x2−4+2(4x4(x2−4)2−5x2x2−4+1)x2−4−3(x2x2−4−1)x2−2(4x4(x2−4)2−5x2x2−4+1)x2)x\frac{4 \left(\frac{3 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} - \frac{6 \left(\frac{2 x^{4}}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} - \frac{3 x^{2}}{x^{2} - 4} + 1\right)}{x^{2} - 4} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{4}}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} - \frac{5 x^{2}}{x^{2} - 4} + 1\right)}{x^{2} - 4} - \frac{3 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2}} - \frac{2 \left(\frac{4 x^{4}}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} - \frac{5 x^{2}}{x^{2} - 4} + 1\right)}{x^{2}}\right)}{x}
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=ln(x^2/(4-x^2))
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