Derivada de y=tg(lnx)+sin^3(x/6)

1. diferenciamos $\sin^{3}{\left(\frac{x}{6} \right)} + \tan{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$ miembro por miembro:

   1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      $\tan{\left(\log{\left(x \right)} \right)} = \frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}$

   2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = \log{\left(x \right)}$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}$:

         1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$.

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = \log{\left(x \right)}$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}$:

         1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$.

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- \frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}$

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x} + \frac{\cos^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}}{\cos^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}$

   3. Sustituimos $u = \sin{\left(\frac{x}{6} \right)}$.

   4. Según el principio, aplicamos: $u^{3}$ tenemos $3 u^{2}$

   5. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(\frac{x}{6} \right)}$:

      1. Sustituimos $u = \frac{x}{6}$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{6}$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $\frac{1}{6}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{\cos{\left(\frac{x}{6} \right)}}{6}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{6} \right)} \cos{\left(\frac{x}{6} \right)}}{2}$

   Como resultado de: $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x} + \frac{\cos^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}}{\cos^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} + \frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{6} \right)} \cos{\left(\frac{x}{6} \right)}}{2}$

2. Simplificamos:

   $- \frac{\cos^{3}{\left(\frac{x}{6} \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(\frac{x}{6} \right)}}{2} + \frac{1}{x \cos^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}$

Respuesta:

$- \frac{\cos^{3}{\left(\frac{x}{6} \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(\frac{x}{6} \right)}}{2} + \frac{1}{x \cos^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}$