Sr Examen

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x/(x+sqrt(1+x^2))
Derivada de la función/ 1+x^2/ (x+sqrt(1+x^2))/ x/(x+sqrt(1+x^2))

Derivada de x/(x+sqrt(1+x^2))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       x       
---------------
       ________
      /      2 
x + \/  1 + x
xx+x2+1\frac{x}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} 
x/(x + sqrt(1 + x^2))
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

    f(x)=xf{\left(x \right)} = x y g(x)=x+x2+1g{\left(x \right)} = x + \sqrt{x^{2} + 1}.

    Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

    Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. diferenciamos x+x2+1x + \sqrt{x^{2} + 1} miembro por miembro:

      1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

      2. Sustituimos u=x2+1u = x^{2} + 1.

      3. Según el principio, aplicamos: u\sqrt{u} tenemos 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

      4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(x2+1)\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 1\right):

        1. diferenciamos x2+1x^{2} + 1 miembro por miembro:

          1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

          2. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

          Como resultado de: 2x2 x

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        xx2+1\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}

      Como resultado de: xx2+1+1\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 1

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    −x(xx2+1+1)+x+x2+1(x+x2+1)2\frac{- x \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 1\right) + x + \sqrt{x^{2} + 1}}{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)^{2}}

  2. Simplificamos:

    −x+x2+1x2+xx2+1+1\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + x \sqrt{x^{2} + 1} + 1}

Respuesta:

−x+x2+1x2+xx2+1+1\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + x \sqrt{x^{2} + 1} + 1}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-250250
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
                    /          x     \
                  x*|-1 - -----------|
                    |        ________|
                    |       /      2 |
       1            \     \/  1 + x  /
--------------- + --------------------
       ________                     2 
      /      2     /       ________\  
x + \/  1 + x      |      /      2 |  
                   \x + \/  1 + x  /
x(−xx2+1−1)(x+x2+1)2+1x+x2+1\frac{x \left(- \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} - 1\right)}{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)^{2}} + \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
       /                                 2\              
       |        2       /         x     \ |              
       |       x      2*|1 + -----------| |              
       |-1 + ------     |       ________| |              
       |          2     |      /      2 | |              
       |     1 + x      \    \/  1 + x  / |       2*x    
-2 + x*|----------- + --------------------| - -----------
       |   ________            ________   |      ________
       |  /      2            /      2    |     /      2 
       \\/  1 + x       x + \/  1 + x     /   \/  1 + x  
---------------------------------------------------------
                                     2                   
                    /       ________\                    
                    |      /      2 |                    
                    \x + \/  1 + x  /
x(x2x2+1−1x2+1+2(xx2+1+1)2x+x2+1)−2xx2+1−2(x+x2+1)2\frac{x \left(\frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} - 1}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \frac{2 \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 1\right)^{2}}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}\right) - \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 1}} - 2}{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)^{2}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
  /                /                   3                                         /        2  \\                      2\
  |        2       |  /         x     \      /        2  \     /         x     \ |       x   ||     /         x     \ |
  |       x        |2*|1 + -----------|      |       x   |   2*|1 + -----------|*|-1 + ------||   2*|1 + -----------| |
  |-1 + ------     |  |       ________|    x*|-1 + ------|     |       ________| |          2||     |       ________| |
  |          2     |  |      /      2 |      |          2|     |      /      2 | \     1 + x /|     |      /      2 | |
  |     1 + x      |  \    \/  1 + x  /      \     1 + x /     \    \/  1 + x  /              |     \    \/  1 + x  / |
3*|----------- - x*|-------------------- + --------------- + ---------------------------------| + --------------------|
  |   ________     |                  2              3/2          ________ /       ________\  |            ________   |
  |  /      2      | /       ________\       /     2\            /      2  |      /      2 |  |           /      2    |
  |\/  1 + x       | |      /      2 |       \1 + x /          \/  1 + x  *\x + \/  1 + x  /  |     x + \/  1 + x     |
  \                \ \x + \/  1 + x  /                                                        /                       /
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                    2                                                  
                                                   /       ________\                                                   
                                                   |      /      2 |                                                   
                                                   \x + \/  1 + x  /
3(−x(x(x2x2+1−1)(x2+1)32+2(xx2+1+1)(x2x2+1−1)(x+x2+1)x2+1+2(xx2+1+1)3(x+x2+1)2)+x2x2+1−1x2+1+2(xx2+1+1)2x+x2+1)(x+x2+1)2\frac{3 \left(- x \left(\frac{x \left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 1\right) \left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)}{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right) \sqrt{x^{2} + 1}} + \frac{2 \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 1\right)^{3}}{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)^{2}}\right) + \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} - 1}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \frac{2 \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 1\right)^{2}}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}\right)}{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)^{2}}
Simplificar
Gráfico
Derivada de x/(x+sqrt(1+x^2))
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