Sr Examen

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y=sqrt(1+tg(x+1/x))
Derivada de la función/ x+1/x/ y=sqrt(1+tg(x+1/x))

Derivada de y=sqrt(1+tg(x+1/x))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
    ________________
   /        /    1\ 
  /  1 + tan|x + -| 
\/          \    x/
tan⁡(x+1x)+1\sqrt{\tan{\left(x + \frac{1}{x} \right)} + 1} 
sqrt(1 + tan(x + 1/x))
Solución detallada

  1. Sustituimos u=tan⁡(x+1x)+1u = \tan{\left(x + \frac{1}{x} \right)} + 1.

  2. Según el principio, aplicamos: u\sqrt{u} tenemos 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(tan⁡(x+1x)+1)\frac{d}{d x} \left(\tan{\left(x + \frac{1}{x} \right)} + 1\right):

    1. diferenciamos tan⁡(x+1x)+1\tan{\left(x + \frac{1}{x} \right)} + 1 miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

      2. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        tan⁡(x+1x)=sin⁡(x+1x)cos⁡(x+1x)\tan{\left(x + \frac{1}{x} \right)} = \frac{\sin{\left(x + \frac{1}{x} \right)}}{\cos{\left(x + \frac{1}{x} \right)}}

      3. Se aplica la regla de la derivada parcial:

        ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=sin⁡(x+1x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x + \frac{1}{x} \right)} y g(x)=cos⁡(x+1x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x + \frac{1}{x} \right)}.

        Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. Sustituimos u=x+1xu = x + \frac{1}{x}.

        2. La derivada del seno es igual al coseno:

          ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(x+1x)\frac{d}{d x} \left(x + \frac{1}{x}\right):

          1. diferenciamos x+1xx + \frac{1}{x} miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

            2. Según el principio, aplicamos: 1x\frac{1}{x} tenemos −1x2- \frac{1}{x^{2}}

            Como resultado de: 1−1x21 - \frac{1}{x^{2}}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          (1−1x2)cos⁡(x+1x)\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \cos{\left(x + \frac{1}{x} \right)}

        Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. Sustituimos u=x+1xu = x + \frac{1}{x}.

        2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

          dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(x+1x)\frac{d}{d x} \left(x + \frac{1}{x}\right):

          1. diferenciamos x+1xx + \frac{1}{x} miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

            2. Según el principio, aplicamos: 1x\frac{1}{x} tenemos −1x2- \frac{1}{x^{2}}

            Como resultado de: 1−1x21 - \frac{1}{x^{2}}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          −(1−1x2)sin⁡(x+1x)- \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \sin{\left(x + \frac{1}{x} \right)}

        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

        (1−1x2)sin⁡2(x+1x)+(1−1x2)cos⁡2(x+1x)cos⁡2(x+1x)\frac{\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \sin^{2}{\left(x + \frac{1}{x} \right)} + \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \cos^{2}{\left(x + \frac{1}{x} \right)}}{\cos^{2}{\left(x + \frac{1}{x} \right)}}

      Como resultado de: (1−1x2)sin⁡2(x+1x)+(1−1x2)cos⁡2(x+1x)cos⁡2(x+1x)\frac{\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \sin^{2}{\left(x + \frac{1}{x} \right)} + \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \cos^{2}{\left(x + \frac{1}{x} \right)}}{\cos^{2}{\left(x + \frac{1}{x} \right)}}

    Como resultado de la secuencia de reglas:

    (1−1x2)sin⁡2(x+1x)+(1−1x2)cos⁡2(x+1x)2tan⁡(x+1x)+1cos⁡2(x+1x)\frac{\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \sin^{2}{\left(x + \frac{1}{x} \right)} + \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \cos^{2}{\left(x + \frac{1}{x} \right)}}{2 \sqrt{\tan{\left(x + \frac{1}{x} \right)} + 1} \cos^{2}{\left(x + \frac{1}{x} \right)}}

  4. Simplificamos:

    x2−12x2tan⁡(x+1x)+1cos⁡2(x+1x)\frac{x^{2} - 1}{2 x^{2} \sqrt{\tan{\left(x + \frac{1}{x} \right)} + 1} \cos^{2}{\left(x + \frac{1}{x} \right)}}

Respuesta:

x2−12x2tan⁡(x+1x)+1cos⁡2(x+1x)\frac{x^{2} - 1}{2 x^{2} \sqrt{\tan{\left(x + \frac{1}{x} \right)} + 1} \cos^{2}{\left(x + \frac{1}{x} \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-200200
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
/       2/    1\\ /    1 \
|1 + tan |x + -||*|1 - --|
\        \    x// |     2|
                  \    x /
--------------------------
        ________________  
       /        /    1\   
  2*  /  1 + tan|x + -|   
    \/          \    x/
(1−1x2)(tan⁡2(x+1x)+1)2tan⁡(x+1x)+1\frac{\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \left(\tan^{2}{\left(x + \frac{1}{x} \right)} + 1\right)}{2 \sqrt{\tan{\left(x + \frac{1}{x} \right)} + 1}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
                  /                                    2                  \
                  |                            /    1 \  /       2/    1\\|
                  |                            |1 - --| *|1 + tan |x + -|||
                  |             2              |     2|  \        \    x//|
/       2/    1\\ |1    /    1 \     /    1\   \    x /                   |
|1 + tan |x + -||*|-- + |1 - --| *tan|x + -| - ---------------------------|
\        \    x// | 3   |     2|     \    x/          /       /    1\\    |
                  |x    \    x /                    4*|1 + tan|x + -||    |
                  \                                   \       \    x//    /
---------------------------------------------------------------------------
                                ________________                           
                               /        /    1\                            
                              /  1 + tan|x + -|                            
                            \/          \    x/
(tan⁡2(x+1x)+1)((1−1x2)2tan⁡(x+1x)−(1−1x2)2(tan⁡2(x+1x)+1)4(tan⁡(x+1x)+1)+1x3)tan⁡(x+1x)+1\frac{\left(\tan^{2}{\left(x + \frac{1}{x} \right)} + 1\right) \left(\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{2} \tan{\left(x + \frac{1}{x} \right)} - \frac{\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{2} \left(\tan^{2}{\left(x + \frac{1}{x} \right)} + 1\right)}{4 \left(\tan{\left(x + \frac{1}{x} \right)} + 1\right)} + \frac{1}{x^{3}}\right)}{\sqrt{\tan{\left(x + \frac{1}{x} \right)} + 1}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
                  /                                                                                                          2         3                                            3                             \
                  |                                                                 /    1 \    /    1\     /       2/    1\\  /    1 \      /       2/    1\\ /    1 \     /    1 \  /       2/    1\\    /    1\|
                  |                                                               6*|1 - --|*tan|x + -|   3*|1 + tan |x + -|| *|1 - --|    3*|1 + tan |x + -||*|1 - --|   3*|1 - --| *|1 + tan |x + -||*tan|x + -||
                  |               3                               3                 |     2|    \    x/     \        \    x//  |     2|      \        \    x// |     2|     |     2|  \        \    x//    \    x/|
/       2/    1\\ |  3    /    1 \  /       2/    1\\     /    1 \     2/    1\     \    x /                                   \    x /                        \    x /     \    x /                              |
|1 + tan |x + -||*|- -- + |1 - --| *|1 + tan |x + -|| + 2*|1 - --| *tan |x + -| + --------------------- + ------------------------------ - ---------------------------- - ----------------------------------------|
\        \    x// |   4   |     2|  \        \    x//     |     2|      \    x/              3                                   2               3 /       /    1\\                    /       /    1\\           |
                  |  x    \    x /                        \    x /                          x                    /       /    1\\             2*x *|1 + tan|x + -||                  2*|1 + tan|x + -||           |
                  |                                                                                            8*|1 + tan|x + -||                  \       \    x//                    \       \    x//           |
                  \                                                                                              \       \    x//                                                                                 /
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                    ________________                                                                                               
                                                                                                   /        /    1\                                                                                                
                                                                                                  /  1 + tan|x + -|                                                                                                
                                                                                                \/          \    x/
(tan⁡2(x+1x)+1)((1−1x2)3(tan⁡2(x+1x)+1)+2(1−1x2)3tan⁡2(x+1x)−3(1−1x2)3(tan⁡2(x+1x)+1)tan⁡(x+1x)2(tan⁡(x+1x)+1)+3(1−1x2)3(tan⁡2(x+1x)+1)28(tan⁡(x+1x)+1)2+6(1−1x2)tan⁡(x+1x)x3−3(1−1x2)(tan⁡2(x+1x)+1)2x3(tan⁡(x+1x)+1)−3x4)tan⁡(x+1x)+1\frac{\left(\tan^{2}{\left(x + \frac{1}{x} \right)} + 1\right) \left(\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{3} \left(\tan^{2}{\left(x + \frac{1}{x} \right)} + 1\right) + 2 \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{3} \tan^{2}{\left(x + \frac{1}{x} \right)} - \frac{3 \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{3} \left(\tan^{2}{\left(x + \frac{1}{x} \right)} + 1\right) \tan{\left(x + \frac{1}{x} \right)}}{2 \left(\tan{\left(x + \frac{1}{x} \right)} + 1\right)} + \frac{3 \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{3} \left(\tan^{2}{\left(x + \frac{1}{x} \right)} + 1\right)^{2}}{8 \left(\tan{\left(x + \frac{1}{x} \right)} + 1\right)^{2}} + \frac{6 \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \tan{\left(x + \frac{1}{x} \right)}}{x^{3}} - \frac{3 \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \left(\tan^{2}{\left(x + \frac{1}{x} \right)} + 1\right)}{2 x^{3} \left(\tan{\left(x + \frac{1}{x} \right)} + 1\right)} - \frac{3}{x^{4}}\right)}{\sqrt{\tan{\left(x + \frac{1}{x} \right)} + 1}}
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=sqrt(1+tg(x+1/x))
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