Ecuación diferencial 3*x*y'-3*y=5*cos(3*y/x)^2

Tenemos la ecuación:
$$3 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 3 y{\left(x \right)} - 5 \cos^{2}{\left(\frac{3 y{\left(x \right)}}{x} \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$- 3 x u{\left(x \right)} + 3 x \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} - 5 \cos^{2}{\left(3 u{\left(x \right)} \right)} = 0$$
o
$$3 x^{2} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - 5 \cos^{2}{\left(3 u{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{5}{3 x^{2}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \cos^{2}{\left(3 u{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\cos^{2}{\left(3 u{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(3 u{\left(x \right)} \right)}} = \frac{5}{3 x^{2}}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(3 u{\left(x \right)} \right)}} = \frac{5 dx}{3 x^{2}}$$
o
$$\frac{du}{\cos^{2}{\left(3 u{\left(x \right)} \right)}} = \frac{5 dx}{3 x^{2}}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\cos^{2}{\left(3 u \right)}}\, du = \int \frac{5}{3 x^{2}}\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{\sin{\left(3 u \right)}}{3 \cos{\left(3 u \right)}} = Const - \frac{5}{3 x}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{x - \sqrt{C_{1}^{2} x^{2} - 10 C_{1} x + x^{2} + 25}}{C_{1} x - 5} \right)}}{3}$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{x + \sqrt{C_{1}^{2} x^{2} - 10 C_{1} x + x^{2} + 25}}{C_{1} x - 5} \right)}}{3}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = - \frac{2 x \operatorname{atan}{\left(\frac{x - \sqrt{C_{1}^{2} x^{2} - 10 C_{1} x + x^{2} + 25}}{C_{1} x - 5} \right)}}{3}$$
$$y2 = y(x) = - \frac{2 x \operatorname{atan}{\left(\frac{x + \sqrt{C_{1}^{2} x^{2} - 10 C_{1} x + x^{2} + 25}}{C_{1} x - 5} \right)}}{3}$$