Ecuación diferencial cos(2y-1)dy=-1/(6x^2-5)dx

Tenemos la ecuación:
$$\cos{\left(2 y{\left(x \right)} - 1 \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{1}{6 x^{2} - 5}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{6 x^{2} - 5}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{\cos{\left(2 y{\left(x \right)} - 1 \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{\cos{\left(2 y{\left(x \right)} - 1 \right)}}$$
obtendremos
$$\cos{\left(2 y{\left(x \right)} - 1 \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{1}{6 x^{2} - 5}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \cos{\left(2 y{\left(x \right)} - 1 \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{dx}{6 x^{2} - 5}$$
o
$$dy \cos{\left(2 y{\left(x \right)} - 1 \right)} = - \frac{dx}{6 x^{2} - 5}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \cos{\left(2 y - 1 \right)}\, dy = \int \left(- \frac{1}{6 x^{2} - 5}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{\sin{\left(2 y - 1 \right)}}{2} = Const - \frac{\sqrt{30} \log{\left(x - \frac{\sqrt{30}}{6} \right)}}{60} + \frac{\sqrt{30} \log{\left(x + \frac{\sqrt{30}}{6} \right)}}{60}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{asin}{\left(C_{1} - \frac{\sqrt{30} \log{\left(x - \frac{\sqrt{30}}{6} \right)}}{30} + \frac{\sqrt{30} \log{\left(x + \frac{\sqrt{30}}{6} \right)}}{30} \right)}}{2} + \frac{1}{2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = - \frac{\operatorname{asin}{\left(C_{1} - \frac{\sqrt{30} \log{\left(x + \frac{\left(-1\right) \sqrt{30}}{6} \right)}}{30} + \frac{\sqrt{30} \log{\left(x + \frac{\sqrt{30}}{6} \right)}}{30} \right)}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\pi}{2}$$