Sr Examen
Ecuación diferencial dy/y^6=x^4dx
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d --(y(x)) dx 4 -------- = x 6 y (x)
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{6}{\left(x \right)}} = x^{4}$$
y'/y^6 = x^4
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{6}{\left(x \right)}} = x^{4}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x^{4}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - y^{6}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- y^{6}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{6}{\left(x \right)}} = - x^{4}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{6}{\left(x \right)}} = - dx x^{4}$$
o
$$- \frac{dy}{y^{6}{\left(x \right)}} = - dx x^{4}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{y^{6}}\right)\, dy = \int \left(- x^{4}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{1}{5 y^{5}} = Const - \frac{x^{5}}{5}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \sqrt[5]{- \frac{1}{C_{1} + x^{5}}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[5]{- \frac{1}{C_{1} + x^{5}}} \left(-1 + \sqrt{5} - \sqrt{2} i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)}{4}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[5]{- \frac{1}{C_{1} + x^{5}}} \left(-1 + \sqrt{5} + \sqrt{2} i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)}{4}$$
$$\operatorname{y_{4}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[5]{- \frac{1}{C_{1} + x^{5}}} \left(- \sqrt{5} - 1 - \sqrt{2} i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)}{4}$$
$$\operatorname{y_{5}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[5]{- \frac{1}{C_{1} + x^{5}}} \left(- \sqrt{5} - 1 + \sqrt{2} i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)}{4}$$
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{6}{\left(x \right)}} = x^{4}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x^{4}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - y^{6}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- y^{6}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{6}{\left(x \right)}} = - x^{4}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{6}{\left(x \right)}} = - dx x^{4}$$
o
$$- \frac{dy}{y^{6}{\left(x \right)}} = - dx x^{4}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{y^{6}}\right)\, dy = \int \left(- x^{4}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{1}{5 y^{5}} = Const - \frac{x^{5}}{5}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \sqrt[5]{- \frac{1}{C_{1} + x^{5}}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[5]{- \frac{1}{C_{1} + x^{5}}} \left(-1 + \sqrt{5} - \sqrt{2} i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)}{4}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[5]{- \frac{1}{C_{1} + x^{5}}} \left(-1 + \sqrt{5} + \sqrt{2} i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)}{4}$$
$$\operatorname{y_{4}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[5]{- \frac{1}{C_{1} + x^{5}}} \left(- \sqrt{5} - 1 - \sqrt{2} i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)}{4}$$
$$\operatorname{y_{5}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[5]{- \frac{1}{C_{1} + x^{5}}} \left(- \sqrt{5} - 1 + \sqrt{2} i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)}{4}$$
Respuesta
[src]
_________
/ -1
y(x) = / -------
5 / 5
\/ C1 + x
$$y{\left(x \right)} = \sqrt[5]{- \frac{1}{C_{1} + x^{5}}}$$
_________ / ___________\
/ -1 | ___ ___ / ___ |
/ ------- *\-1 + \/ 5 - I*\/ 2 *\/ 5 + \/ 5 /
5 / 5
\/ C1 + x
y(x) = ----------------------------------------------------
4
$$y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[5]{- \frac{1}{C_{1} + x^{5}}} \left(-1 + \sqrt{5} - \sqrt{2} i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)}{4}$$
_________ / ___________\
/ -1 | ___ ___ / ___ |
/ ------- *\-1 + \/ 5 + I*\/ 2 *\/ 5 + \/ 5 /
5 / 5
\/ C1 + x
y(x) = ----------------------------------------------------
4
$$y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[5]{- \frac{1}{C_{1} + x^{5}}} \left(-1 + \sqrt{5} + \sqrt{2} i \sqrt{\sqrt{5} + 5}\right)}{4}$$
_________ / ___________\
/ -1 | ___ ___ / ___ |
/ ------- *\-1 - \/ 5 - I*\/ 2 *\/ 5 - \/ 5 /
5 / 5
\/ C1 + x
y(x) = ----------------------------------------------------
4
$$y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[5]{- \frac{1}{C_{1} + x^{5}}} \left(- \sqrt{5} - 1 - \sqrt{2} i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)}{4}$$
_________ / ___________\
/ -1 | ___ ___ / ___ |
/ ------- *\-1 - \/ 5 + I*\/ 2 *\/ 5 - \/ 5 /
5 / 5
\/ C1 + x
y(x) = ----------------------------------------------------
4
$$y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[5]{- \frac{1}{C_{1} + x^{5}}} \left(- \sqrt{5} - 1 + \sqrt{2} i \sqrt{5 - \sqrt{5}}\right)}{4}$$
Clasificación
separable
1st exact
Bernoulli
separable reduced
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Bernoulli Integral
separable reduced Integral