Ecuación diferencial x^3*dx+(y*dx+x*dy-y*dy)=0

Tenemos la ecuación:
$$x^{3} + x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x - y{\left(x \right)}$$
y porque
$$1 - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 1 - \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$x^{3} + x \frac{d}{d x} \left(x - u{\left(x \right)}\right) + x - \left(x - u{\left(x \right)}\right) \frac{d}{d x} \left(x - u{\left(x \right)}\right) - u{\left(x \right)} = 0$$
o
$$x^{3} + x - u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x^{3} - x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - \frac{1}{u{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- \frac{1}{u{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = - x^{3} - x$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = dx \left(- x^{3} - x\right)$$
o
$$- du u{\left(x \right)} = dx \left(- x^{3} - x\right)$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- u\right)\, du = \int \left(- x^{3} - x\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \frac{u^{2}}{2} = Const - \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{C_{1} + 2 x^{4} + 4 x^{2}}}{2}$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{C_{1} + 2 x^{4} + 4 x^{2}}}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x - u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = x + \frac{\sqrt{C_{1} + 2 x^{4} + 4 x^{2}}}{2}$$
$$y2 = y(x) = x - \frac{\sqrt{C_{1} + 2 x^{4} + 4 x^{2}}}{2}$$