Sr Examen
Ecuación diferencial dy*(x^4+1)=dx*x*y^4
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
4 d d 4 x *--(y(x)) + --(y(x)) = x*y (x) dx dx
$$x^{4} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x y^{4}{\left(x \right)}$$
x^4*y' + y' = x*y^4
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x^{4} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x y^{4}{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{x}{x^{4} + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y^{4}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y^{4}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{4}{\left(x \right)}} = \frac{x}{x^{4} + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{4}{\left(x \right)}} = \frac{dx x}{x^{4} + 1}$$
o
$$\frac{dy}{y^{4}{\left(x \right)}} = \frac{dx x}{x^{4} + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y^{4}}\, dy = \int \frac{x}{x^{4} + 1}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{1}{3 y^{3}} = Const + \frac{\operatorname{atan}{\left(x^{2} \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} + 3 \operatorname{atan}{\left(x^{2} \right)}}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} + \operatorname{atan}{\left(x^{2} \right)}}} \left(- 3^{\frac{2}{3}} - 3 \sqrt[6]{3} i\right)}{6}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} + \operatorname{atan}{\left(x^{2} \right)}}} \left(- 3^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt[6]{3} i\right)}{6}$$
$$x^{4} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x y^{4}{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{x}{x^{4} + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y^{4}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y^{4}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{4}{\left(x \right)}} = \frac{x}{x^{4} + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{4}{\left(x \right)}} = \frac{dx x}{x^{4} + 1}$$
o
$$\frac{dy}{y^{4}{\left(x \right)}} = \frac{dx x}{x^{4} + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y^{4}}\, dy = \int \frac{x}{x^{4} + 1}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{1}{3 y^{3}} = Const + \frac{\operatorname{atan}{\left(x^{2} \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} + 3 \operatorname{atan}{\left(x^{2} \right)}}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} + \operatorname{atan}{\left(x^{2} \right)}}} \left(- 3^{\frac{2}{3}} - 3 \sqrt[6]{3} i\right)}{6}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} + \operatorname{atan}{\left(x^{2} \right)}}} \left(- 3^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt[6]{3} i\right)}{6}$$
Respuesta
[src]
_________________
3 ___ / -1
y(x) = \/ 2 * / ---------------
3 / / 2\
\/ C1 + 3*atan\x /
$$y{\left(x \right)} = \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} + 3 \operatorname{atan}{\left(x^{2} \right)}}}$$
_______________
3 ___ / -1 / 2/3 6 ___\
\/ 2 * / ------------- *\- 3 - 3*I*\/ 3 /
3 / / 2\
\/ C1 + atan\x /
y(x) = -----------------------------------------------
6
$$y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} + \operatorname{atan}{\left(x^{2} \right)}}} \left(- 3^{\frac{2}{3}} - 3 \sqrt[6]{3} i\right)}{6}$$
_______________
3 ___ / -1 / 2/3 6 ___\
\/ 2 * / ------------- *\- 3 + 3*I*\/ 3 /
3 / / 2\
\/ C1 + atan\x /
y(x) = -----------------------------------------------
6
$$y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} + \operatorname{atan}{\left(x^{2} \right)}}} \left(- 3^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt[6]{3} i\right)}{6}$$
Clasificación
separable
Bernoulli
1st power series
lie group
separable Integral
Bernoulli Integral