Ecuación diferencial xy''-cy=0

Tenemos la ecuación:
$$- c y{\left(x \right)} + x \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y')*y'' = f2(x)*g2(y'),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = c$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y')/g2(y')*y''= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$c$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{c} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{c} = \frac{dx y{\left(x \right)}}{x}$$
o
$$\frac{dy'}{c} = \frac{dx y{\left(x \right)}}{x}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{c}\, dy' = \int \frac{y{\left(x \right)}}{x}\, dx$$
Solución detallada de la integral con y'
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{y'}{c} = Const + \int \frac{y{\left(x \right)}}{x}\, dx$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = C_{1} + c \int \frac{y{\left(x \right)}}{x}\, dx$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \left(C_{1} + c \int \frac{y{\left(x \right)}}{x}\, dx\right)\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{2} + \int \left(C_{1} + c \int \frac{y{\left(x \right)}}{x}\, dx\right)\, dx$$