Sr Examen
Ecuación diferencial xydy=(1-x^2)dx
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d 2 x*--(y(x))*y(x) = 1 - x dx
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 1 - x^{2}$$
x*y*y' = 1 - x^2
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 1 - x^{2}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1 - x^{2}}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - x + \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx \left(- x + \frac{1}{x}\right)$$
o
$$dy y{\left(x \right)} = dx \left(- x + \frac{1}{x}\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int y\, dy = \int \left(- x + \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{y^{2}}{2} = Const - \frac{x^{2}}{2} + \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} - x^{2} + 2 \log{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} - x^{2} + 2 \log{\left(x \right)}}$$
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 1 - x^{2}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1 - x^{2}}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - x + \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx \left(- x + \frac{1}{x}\right)$$
o
$$dy y{\left(x \right)} = dx \left(- x + \frac{1}{x}\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int y\, dy = \int \left(- x + \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{y^{2}}{2} = Const - \frac{x^{2}}{2} + \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} - x^{2} + 2 \log{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} - x^{2} + 2 \log{\left(x \right)}}$$
Respuesta
[src]
____________________
/ 2
y(x) = -\/ C1 - x + 2*log(x)
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} - x^{2} + 2 \log{\left(x \right)}}$$
____________________
/ 2
y(x) = \/ C1 - x + 2*log(x)
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} - x^{2} + 2 \log{\left(x \right)}}$$
Clasificación
separable
1st exact
lie group
separable Integral
1st exact Integral