Ecuación diferencial (1+(exp^x))y*dy-(exp^y)*dx=0

Tenemos la ecuación:
$$y{\left(x \right)} e^{x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - e^{y{\left(x \right)}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{e^{x} + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{e^{y{\left(x \right)}}}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{e^{y{\left(x \right)}}}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- y{\left(x \right)} e^{- y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{1}{e^{x} + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx y{\left(x \right)} e^{- y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{dx}{e^{x} + 1}$$
o
$$- dy y{\left(x \right)} e^{- y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{e^{x} + 1}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- y e^{- y}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{e^{x} + 1}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\left(y + 1\right) e^{- y} = Const - x + \log{\left(e^{x} + 1 \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - W\left(C_{1} + \frac{x}{e^{1}} - \frac{\log{\left(e^{x} + 1 \right)}}{e^{1}}\right) - 1$$