Sr Examen
Ecuación diferencial dy:dx-((y+1)^(1/2):(x+1)^(1/4))=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
__________ \/ 1 + y(x) d - ------------ + --(y(x)) = 0 4 _______ dx \/ 1 + x
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{\sqrt{y{\left(x \right)} + 1}}{\sqrt[4]{x + 1}} = 0$$
y' - sqrt(y + 1)/(x + 1)^(1/4) = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{\sqrt{y{\left(x \right)} + 1}}{\sqrt[4]{x + 1}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt[4]{x + 1}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \sqrt{y{\left(x \right)} + 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \sqrt{y{\left(x \right)} + 1}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y{\left(x \right)} + 1}} = - \frac{1}{\sqrt[4]{x + 1}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y{\left(x \right)} + 1}} = - \frac{dx}{\sqrt[4]{x + 1}}$$
o
$$- \frac{dy}{\sqrt{y{\left(x \right)} + 1}} = - \frac{dx}{\sqrt[4]{x + 1}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{\sqrt{y + 1}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{\sqrt[4]{x + 1}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- 2 \sqrt{y + 1} = Const - \frac{4 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{4}}}{3}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{C_{1}^{2}}{4} + \frac{2 C_{1} \left(x + 1\right)^{\frac{3}{4}}}{3} + \frac{4 x \sqrt{x + 1}}{9} + \frac{4 \sqrt{x + 1}}{9} - 1$$
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{\sqrt{y{\left(x \right)} + 1}}{\sqrt[4]{x + 1}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt[4]{x + 1}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \sqrt{y{\left(x \right)} + 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \sqrt{y{\left(x \right)} + 1}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y{\left(x \right)} + 1}} = - \frac{1}{\sqrt[4]{x + 1}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y{\left(x \right)} + 1}} = - \frac{dx}{\sqrt[4]{x + 1}}$$
o
$$- \frac{dy}{\sqrt{y{\left(x \right)} + 1}} = - \frac{dx}{\sqrt[4]{x + 1}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{\sqrt{y + 1}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{\sqrt[4]{x + 1}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- 2 \sqrt{y + 1} = Const - \frac{4 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{4}}}{3}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{C_{1}^{2}}{4} + \frac{2 C_{1} \left(x + 1\right)^{\frac{3}{4}}}{3} + \frac{4 x \sqrt{x + 1}}{9} + \frac{4 \sqrt{x + 1}}{9} - 1$$
Respuesta
[src]
2 _______ 3/4 _______
C1 4*\/ 1 + x 2*C1*(1 + x) 4*x*\/ 1 + x
y(x) = -1 + --- + ----------- + --------------- + -------------
4 9 3 9
$$y{\left(x \right)} = \frac{C_{1}^{2}}{4} + \frac{2 C_{1} \left(x + 1\right)^{\frac{3}{4}}}{3} + \frac{4 x \sqrt{x + 1}}{9} + \frac{4 \sqrt{x + 1}}{9} - 1$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st exact
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, nan)
(-5.555555555555555, nan)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, nan)
(1.1111111111111107, nan)
(3.333333333333334, nan)
(5.555555555555557, nan)
(7.777777777777779, nan)
(10.0, nan)
(10.0, nan)