Sr Examen

Otras calculadoras

Ecuación diferencial dy/((1/2)*(y^3))=dx/(x^2)

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Para el problema de Cauchy:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

Gráfico:

interior superior

Solución

Ha introducido [src]
  d            
2*--(y(x))     
  dx         1 
---------- = --
   3          2
  y (x)      x 
$$\frac{2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{3}{\left(x \right)}} = \frac{1}{x^{2}}$$
2*y'/y^3 = x^(-2)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\frac{2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{3}{\left(x \right)}} = \frac{1}{x^{2}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{y^{3}{\left(x \right)}}{2}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{y^{3}{\left(x \right)}}{2}$$
obtendremos
$$- \frac{2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{3}{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x^{2}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{2 dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{3}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x^{2}}$$
o
$$- \frac{2 dy}{y^{3}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x^{2}}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{2}{y^{3}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{2}}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{1}{y^{2}} = Const + \frac{1}{x}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{- \frac{x}{C_{1} x - 1}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{- \frac{x}{C_{1} x - 1}}$$
Respuesta [src]
            ___________
           /    -x     
y(x) = -  /  --------- 
        \/   -1 + C1*x 
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{- \frac{x}{C_{1} x - 1}}$$
           ___________
          /    -x     
y(x) =   /  --------- 
       \/   -1 + C1*x 
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{- \frac{x}{C_{1} x - 1}}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st exact
Bernoulli
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Bernoulli Integral
Respuesta numérica [src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.7561004654857327)
(-5.555555555555555, 0.7674669721399187)
(-3.333333333333333, 0.796117830953457)
(-1.1111111111111107, 1.0113020784078905)
(1.1111111111111107, 12412.138683225485)
(3.333333333333334, 3.1933833808213433e-248)
(5.555555555555557, 5.107659831618641e-38)
(7.777777777777779, 8.38824356771812e+296)
(10.0, 3.861029683e-315)
(10.0, 3.861029683e-315)