Ecuación diferencial dx+dy/sqrt(y)=dx/x

Tenemos la ecuación:
$$1 + \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y{\left(x \right)}}} = \frac{1}{x}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1 - x}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sqrt{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sqrt{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y{\left(x \right)}}} = \frac{1 - x}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y{\left(x \right)}}} = \frac{dx \left(1 - x\right)}{x}$$
o
$$\frac{dy}{\sqrt{y{\left(x \right)}}} = \frac{dx \left(1 - x\right)}{x}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sqrt{y}}\, dy = \int \frac{1 - x}{x}\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$2 \sqrt{y} = Const - x + \log{\left(x \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{C_{1}^{2}}{4} - \frac{C_{1} x}{2} + \frac{C_{1} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4} - \frac{x \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{4}$$