Sr Examen
Ecuación diferencial y''-4*y'-5*y=3*x*sin(5x)+2*cos(5x)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
d d
-5*y(x) - 4*--(y(x)) + ---(y(x)) = 2*cos(5*x) + 3*x*sin(5*x)
dx 2
dx
$$- 5 y{\left(x \right)} - 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 3 x \sin{\left(5 x \right)} + 2 \cos{\left(5 x \right)}$$
-5*y - 4*y' + y'' = 3*x*sin(5*x) + 2*cos(5*x)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- 5 y{\left(x \right)} - 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 3 x \sin{\left(5 x \right)} + 2 \cos{\left(5 x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = -4$$
$$q = -5$$
$$s = - 3 x \sin{\left(5 x \right)} - 2 \cos{\left(5 x \right)}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 4 k - 5 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = -1$$
$$k_{2} = 5$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces no tienen una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- x} + C_{2} e^{5 x}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{5 x}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(-x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(5*x) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = 3 x \sin{\left(5 x \right)} + 2 \cos{\left(5 x \right)}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{5 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{- x} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{5 x} = 3 x \sin{\left(5 x \right)} + 2 \cos{\left(5 x \right)}$$
o
$$e^{5 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$5 e^{5 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} - e^{- x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 3 x \sin{\left(5 x \right)} + 2 \cos{\left(5 x \right)}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - \left(\frac{x \sin{\left(5 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{3}\right) e^{x}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \left(\frac{x \sin{\left(5 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{3}\right) e^{- 5 x}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- \left(\frac{x \sin{\left(5 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{3}\right) e^{x}\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(\frac{x \sin{\left(5 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{3}\right) e^{- 5 x}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} - \frac{x e^{x} \sin{\left(5 x \right)}}{52} + \frac{5 x e^{x} \cos{\left(5 x \right)}}{52} - \frac{83 e^{x} \sin{\left(5 x \right)}}{1014} - \frac{41 e^{x} \cos{\left(5 x \right)}}{2028}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{x e^{- 5 x} \sin{\left(5 x \right)}}{20} - \frac{x e^{- 5 x} \cos{\left(5 x \right)}}{20} + \frac{e^{- 5 x} \sin{\left(5 x \right)}}{30} - \frac{13 e^{- 5 x} \cos{\left(5 x \right)}}{300}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{5 x}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- x} + C_{4} e^{5 x} - \frac{9 x \sin{\left(5 x \right)}}{130} + \frac{3 x \cos{\left(5 x \right)}}{65} - \frac{41 \sin{\left(5 x \right)}}{845} - \frac{537 \cos{\left(5 x \right)}}{8450}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$- 5 y{\left(x \right)} - 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 3 x \sin{\left(5 x \right)} + 2 \cos{\left(5 x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = -4$$
$$q = -5$$
$$s = - 3 x \sin{\left(5 x \right)} - 2 \cos{\left(5 x \right)}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 4 k - 5 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = -1$$
$$k_{2} = 5$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces no tienen una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- x} + C_{2} e^{5 x}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{5 x}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(-x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(5*x) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = 3 x \sin{\left(5 x \right)} + 2 \cos{\left(5 x \right)}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{5 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{- x} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{5 x} = 3 x \sin{\left(5 x \right)} + 2 \cos{\left(5 x \right)}$$
o
$$e^{5 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$5 e^{5 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} - e^{- x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 3 x \sin{\left(5 x \right)} + 2 \cos{\left(5 x \right)}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - \left(\frac{x \sin{\left(5 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{3}\right) e^{x}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \left(\frac{x \sin{\left(5 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{3}\right) e^{- 5 x}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- \left(\frac{x \sin{\left(5 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{3}\right) e^{x}\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(\frac{x \sin{\left(5 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{3}\right) e^{- 5 x}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} - \frac{x e^{x} \sin{\left(5 x \right)}}{52} + \frac{5 x e^{x} \cos{\left(5 x \right)}}{52} - \frac{83 e^{x} \sin{\left(5 x \right)}}{1014} - \frac{41 e^{x} \cos{\left(5 x \right)}}{2028}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{x e^{- 5 x} \sin{\left(5 x \right)}}{20} - \frac{x e^{- 5 x} \cos{\left(5 x \right)}}{20} + \frac{e^{- 5 x} \sin{\left(5 x \right)}}{30} - \frac{13 e^{- 5 x} \cos{\left(5 x \right)}}{300}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{5 x}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- x} + C_{4} e^{5 x} - \frac{9 x \sin{\left(5 x \right)}}{130} + \frac{3 x \cos{\left(5 x \right)}}{65} - \frac{41 \sin{\left(5 x \right)}}{845} - \frac{537 \cos{\left(5 x \right)}}{8450}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
[src]
537*cos(5*x) 41*sin(5*x) -x 5*x 9*x*sin(5*x) 3*x*cos(5*x)
y(x) = - ------------ - ----------- + C1*e + C2*e - ------------ + ------------
8450 845 130 65
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- x} + C_{2} e^{5 x} - \frac{9 x \sin{\left(5 x \right)}}{130} + \frac{3 x \cos{\left(5 x \right)}}{65} - \frac{41 \sin{\left(5 x \right)}}{845} - \frac{537 \cos{\left(5 x \right)}}{8450}$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral