Sr Examen
Ecuación diferencial ay''(x)+by(x)=t
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
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2
d
a*x*---(y(x)) + b*x*y(x) = t
2
dx
$$a x \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + b x y{\left(x \right)} = t$$
a*x*y'' + b*x*y = t
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$a x \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + b x y{\left(x \right)} = t$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{- b x y{\left(x \right)} + t}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = \frac{1}{a}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$\frac{1}{a}$$
obtendremos
$$a \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = - b y{\left(x \right)} + \frac{t}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$a dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = dx \left(- b y{\left(x \right)} + \frac{t}{x}\right)$$
o
$$a dy' = dx \left(- b y{\left(x \right)} + \frac{t}{x}\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int a\, dy' = \int \left(- b y{\left(x \right)} + \frac{t}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$a y' = Const - \int b y{\left(x \right)}\, dx - \int \left(- \frac{t}{x}\right)\, dx$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = C_{1} + \frac{- b \int y{\left(x \right)}\, dx + t \log{\left(x \right)}}{a}$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \left(C_{1} + \frac{- b \int y{\left(x \right)}\, dx + t \log{\left(x \right)}}{a}\right)\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{2} + \frac{\int C_{1} a\, dx + \int \left(- b \int y{\left(x \right)}\, dx\right)\, dx + \int t \log{\left(x \right)}\, dx}{a}$$
$$a x \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + b x y{\left(x \right)} = t$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y')*y'' = f2(x)*g2(y'),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{- b x y{\left(x \right)} + t}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = \frac{1}{a}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y')/g2(y')*y''= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$\frac{1}{a}$$
obtendremos
$$a \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = - b y{\left(x \right)} + \frac{t}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$a dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = dx \left(- b y{\left(x \right)} + \frac{t}{x}\right)$$
o
$$a dy' = dx \left(- b y{\left(x \right)} + \frac{t}{x}\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int a\, dy' = \int \left(- b y{\left(x \right)} + \frac{t}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$a y' = Const - \int b y{\left(x \right)}\, dx - \int \left(- \frac{t}{x}\right)\, dx$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = C_{1} + \frac{- b \int y{\left(x \right)}\, dx + t \log{\left(x \right)}}{a}$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \left(C_{1} + \frac{- b \int y{\left(x \right)}\, dx + t \log{\left(x \right)}}{a}\right)\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{2} + \frac{\int C_{1} a\, dx + \int \left(- b \int y{\left(x \right)}\, dx\right)\, dx + \int t \log{\left(x \right)}\, dx}{a}$$