Sr Examen
Ecuación diferencial xy'=y-xe^y/x
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d y(x) x*--(y(x)) = - e + y(x) dx
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y{\left(x \right)} - e^{y{\left(x \right)}}$$
x*y' = y - exp(y)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y{\left(x \right)} - e^{y{\left(x \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)} - e^{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)} - e^{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} - e^{y{\left(x \right)}}} = \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} - e^{y{\left(x \right)}}} = \frac{dx}{x}$$
o
$$\frac{dy}{y{\left(x \right)} - e^{y{\left(x \right)}}} = \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y - e^{y}}\, dy = \int \frac{1}{x}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\int \frac{1}{y - e^{y}}\, dy = Const + \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = - \int\limits^{y{\left(x \right)}} \frac{1}{y - e^{y}}\, dy = C_{1} - \log{\left(x \right)}$$
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y{\left(x \right)} - e^{y{\left(x \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)} - e^{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)} - e^{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} - e^{y{\left(x \right)}}} = \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} - e^{y{\left(x \right)}}} = \frac{dx}{x}$$
o
$$\frac{dy}{y{\left(x \right)} - e^{y{\left(x \right)}}} = \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y - e^{y}}\, dy = \int \frac{1}{x}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\int \frac{1}{y - e^{y}}\, dy = Const + \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = - \int\limits^{y{\left(x \right)}} \frac{1}{y - e^{y}}\, dy = C_{1} - \log{\left(x \right)}$$
Respuesta
[src]
y(x)
/
|
| 1
- | -------- dy = C1 - log(x)
| y
| - e + y
|
/
$$- \int\limits^{y{\left(x \right)}} \frac{1}{y - e^{y}}\, dy = C_{1} - \log{\left(x \right)}$$
Clasificación
separable
1st exact
separable reduced
lie group
separable Integral
1st exact Integral
separable reduced Integral