Tenemos la ecuación:
$$\sqrt{1 - x^{2}} \left(x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1\right) = 1$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x} + \frac{1}{x \sqrt{1 - x^{2}}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = 1$$
En esta ecuación las variables x y y ya están separadas.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx \left(- \frac{1}{x} + \frac{1}{x \sqrt{1 - x^{2}}}\right)$$
o
$$dy = dx \left(- \frac{1}{x} + \frac{1}{x \sqrt{1 - x^{2}}}\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int 1\, dy = \int \left(- \frac{1}{x} + \frac{1}{x \sqrt{1 - x^{2}}}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con ySolución detallada de la integral con xTomemos estas integrales
$$y = Const + \begin{cases} - \operatorname{acosh}{\left(\frac{1}{x} \right)} & \text{for}\: \frac{1}{\left|{x^{2}}\right|} > 1 \\i \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{x} \right)} & \text{otherwise} \end{cases} - \log{\left(x \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simpleHemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{1} + \begin{cases} - \operatorname{acosh}{\left(\frac{1}{x} \right)} & \text{for}\: \frac{1}{\left|{x^{2}}\right|} > 1 \\i \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{x} \right)} & \text{otherwise} \end{cases} - \log{\left(x \right)}$$