Sr Examen
Ecuación diferencial sqrt(1-x^2)dy+(1+y^2)dx=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
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2 / 2 d
1 + y (x) + \/ 1 - x *--(y(x)) = 0
dx
$$\sqrt{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} + 1 = 0$$
sqrt(1 - x^2)*y' + y^2 + 1 = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\sqrt{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y^{2}{\left(x \right)} + 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y^{2}{\left(x \right)} + 1$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
o
$$\frac{dy}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y^{2} + 1}\, dy = \int \left(- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\operatorname{atan}{\left(y \right)} = Const - \operatorname{asin}{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \tan{\left(C_{1} - \operatorname{asin}{\left(x \right)} \right)}$$
$$\sqrt{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y^{2}{\left(x \right)} + 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y^{2}{\left(x \right)} + 1$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
o
$$\frac{dy}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y^{2} + 1}\, dy = \int \left(- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\operatorname{atan}{\left(y \right)} = Const - \operatorname{asin}{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \tan{\left(C_{1} - \operatorname{asin}{\left(x \right)} \right)}$$
Respuesta
[src]
y(x) = tan(C1 - asin(x))
$$y{\left(x \right)} = \tan{\left(C_{1} - \operatorname{asin}{\left(x \right)} \right)}$$
Clasificación
separable
1st power series
lie group
separable Integral