Sr Examen
Ecuación diferencial sqrt(x+1)y'+y*ln(y)^3=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
_______ d 3
\/ 1 + x *--(y(x)) + log (y(x))*y(x) = 0
dx
$$\sqrt{x + 1} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}^{3} = 0$$
sqrt(x + 1)*y' + y*log(y)^3 = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\sqrt{x + 1} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}^{3} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}^{3}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}^{3}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}^{3}} = - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}^{3}} = - \frac{dx}{\sqrt{x + 1}}$$
o
$$\frac{dy}{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}^{3}} = - \frac{dx}{\sqrt{x + 1}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y \log{\left(y \right)}^{3}}\, dy = \int \left(- \frac{1}{\sqrt{x + 1}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{1}{2 \log{\left(y \right)}^{2}} = Const - 2 \sqrt{x + 1}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = e^{- \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} - 2 \sqrt{x + 1}}}}{2}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = e^{\frac{\sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} - 2 \sqrt{x + 1}}}}{2}}$$
$$\sqrt{x + 1} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}^{3} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}^{3}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}^{3}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}^{3}} = - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}^{3}} = - \frac{dx}{\sqrt{x + 1}}$$
o
$$\frac{dy}{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}^{3}} = - \frac{dx}{\sqrt{x + 1}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y \log{\left(y \right)}^{3}}\, dy = \int \left(- \frac{1}{\sqrt{x + 1}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{1}{2 \log{\left(y \right)}^{2}} = Const - 2 \sqrt{x + 1}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = e^{- \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} - 2 \sqrt{x + 1}}}}{2}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = e^{\frac{\sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} - 2 \sqrt{x + 1}}}}{2}}$$
Respuesta
[src]
__________________
___ / -1
-\/ 2 * / ----------------
/ _______
\/ C1 - 2*\/ 1 + x
-------------------------------
2
y(x) = e
$$y{\left(x \right)} = e^{- \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} - 2 \sqrt{x + 1}}}}{2}}$$
__________________
___ / -1
\/ 2 * / ----------------
/ _______
\/ C1 - 2*\/ 1 + x
-----------------------------
2
y(x) = e
$$y{\left(x \right)} = e^{\frac{\sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} - 2 \sqrt{x + 1}}}}{2}}$$
Clasificación
separable
1st power series
lie group
separable Integral