Sr Examen
Ecuación diferencial ytanxy'=(4+y^2)sec^2x
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d 2 / 2 \ --(y(x))*tan(x)*y(x) = sec (x)*\4 + y (x)/ dx
$$y{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(y^{2}{\left(x \right)} + 4\right) \sec^{2}{\left(x \right)}$$
y*tan(x)*y' = (y^2 + 4)*sec(x)^2
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$y{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(y^{2}{\left(x \right)} + 4\right) \sec^{2}{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sin{\left(2 x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{2 \left(y^{2}{\left(x \right)} + 4\right)}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{2 \left(y^{2}{\left(x \right)} + 4\right)}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2 y^{2}{\left(x \right)} + 8} = - \frac{1}{\sin{\left(2 x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2 y^{2}{\left(x \right)} + 8} = - \frac{dx}{\sin{\left(2 x \right)}}$$
o
$$- \frac{dy y{\left(x \right)}}{2 y^{2}{\left(x \right)} + 8} = - \frac{dx}{\sin{\left(2 x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{y}{2 y^{2} + 8}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{\sin{\left(2 x \right)}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\log{\left(y^{2} + 4 \right)}}{4} = Const - \frac{\log{\left(\cos{\left(2 x \right)} - 1 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(\cos{\left(2 x \right)} + 1 \right)}}{4}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} \tan^{2}{\left(x \right)} - 4}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} \tan^{2}{\left(x \right)} - 4}$$
$$y{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(y^{2}{\left(x \right)} + 4\right) \sec^{2}{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sin{\left(2 x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{2 \left(y^{2}{\left(x \right)} + 4\right)}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{2 \left(y^{2}{\left(x \right)} + 4\right)}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2 y^{2}{\left(x \right)} + 8} = - \frac{1}{\sin{\left(2 x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2 y^{2}{\left(x \right)} + 8} = - \frac{dx}{\sin{\left(2 x \right)}}$$
o
$$- \frac{dy y{\left(x \right)}}{2 y^{2}{\left(x \right)} + 8} = - \frac{dx}{\sin{\left(2 x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{y}{2 y^{2} + 8}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{\sin{\left(2 x \right)}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\log{\left(y^{2} + 4 \right)}}{4} = Const - \frac{\log{\left(\cos{\left(2 x \right)} - 1 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(\cos{\left(2 x \right)} + 1 \right)}}{4}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} \tan^{2}{\left(x \right)} - 4}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} \tan^{2}{\left(x \right)} - 4}$$
Respuesta
[src]
_________________
/ 2
y(x) = -\/ -4 + C1*tan (x)
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} \tan^{2}{\left(x \right)} - 4}$$
_________________
/ 2
y(x) = \/ -4 + C1*tan (x)
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} \tan^{2}{\left(x \right)} - 4}$$
Clasificación
factorable
separable
1st exact
Bernoulli
almost linear
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Bernoulli Integral
almost linear Integral