Ecuación diferencial sin(x)^2*cos(y)*y'-sin(y)^2*cos(x)=0

Tenemos la ecuación:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$\sin^{2}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{dx \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$
o
$$\frac{dy \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{dx \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{\cos{\left(y \right)}}{\sin^{2}{\left(y \right)}}\, dy = \int \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \frac{1}{\sin{\left(y \right)}} = Const - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{C_{1} \sin{\left(x \right)} - 1} \right)} + \pi$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{C_{1} \sin{\left(x \right)} - 1} \right)}$$