Tenemos la ecuación:
$$- e \left(3 x + 2 y{\left(x \right)}\right) + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = 3 x + 2 y{\left(x \right)}$$
y porque
$$2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 3 = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2} - \frac{3}{2}$$
sustituimos
$$- 3 e x - 2 e \left(- \frac{3 x}{2} + \frac{u{\left(x \right)}}{2}\right) + \frac{d}{d x} \left(- \frac{3 x}{2} + \frac{u{\left(x \right)}}{2}\right) = 0$$
o
$$- e u{\left(x \right)} + \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2} - \frac{3}{2} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - 2 e u{\left(x \right)} - 3$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- 2 e u{\left(x \right)} - 3$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 e u{\left(x \right)} + 3} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 e u{\left(x \right)} + 3} = - dx$$
o
$$- \frac{du}{2 e u{\left(x \right)} + 3} = - dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{2 e u + 3}\right)\, du = \int \left(-1\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con uSolución detallada de la integral con xTomemos estas integrales
$$- \frac{\log{\left(2 e u + 3 \right)}}{2 e} = Const - x$$
Solución detallada de una ecuación simpleHemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = \frac{C_{1} e^{2 e x - 1}}{2} - \frac{3}{2 e^{1}}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = - \frac{3 x}{2} + \frac{u{\left(x \right)}}{2}$$
$$y1 = y(x) = \frac{C_{1} e^{2 e x - 1}}{4} - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{4 e}$$